1. Resolva a inequação.
Dica: Resolver inequações do 1° grau é simples :
1. Some os coeficientes de mesmo grau.
2. Isole a incógnita x em um dos membros da inequação.
a) 3x+3 < x+6
Solução:
3x+3 < x+6
3x -x < 6 -3
2x<3
x < 3/2
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXMg6Da0O-joYGhIJ3eb1EJQwu5DfMuI_iC2ORo2cDKemnaX3VNraLlNZscA9OtKnoBHRajenxHeRqDnbnGmX7znhsRw02TqYlEeuHA9MbiDMPrLv4vikBJV1F1vhDykau5u6C9N8D2waZ/s1600/a.jpg)
b) x-3 > 3x +1
Solução:
x-3 < 3x+1
x-3x < 1+3
-2x<4
2x > -4 *
x < -4/2
x < -2
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEizJFx49SZjuEtDbZ_aWuLwIm5bqxuDC7dI_TuDctsf4WJejhbyB0Efjgglqjz-HfXGpr7PMZN1lctZaj1F631kviBa24Iezmlr2VIEYEMFYfaCb_DlnRRO1lCcFiJIehQUX-R3MiETcCQ4/s1600/b.jpg)
c) 2x - 1 ≥ 5x + 3
Solução:
2x-1 ≥ 5x + 3
2x-5x ≥ 3+1
-3x ≥ 4
3x ≤ -4 *
x ≤ - 4/3
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6cu8SzEog8gAYToB-F6OmlE7xgng5A3N4nixQQLCDIbWcanfOSOhjm2X-yAzXpvhuwdN3ah4E4tu8O3leeYzxsz3YLjSOXScSUOt2tSBYdEbAV6LYnSdYaT2GcEgAisItu7cANAiHMd4_/s1600/c.jpg)
d) x+3 ≤ 6x-2
Solução:
x+3 ≤ 6x - 2
x - 6x ≤ -2 -3
-5x ≤ -5
5x ≥ 5 *
x ≥ 5/5
x ≥ 1
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheo323xQfs7F1Hxmmn4FIsx05v93RiNMgrziCptw05Lh5UMn8qJg1XX0whQFMHtJH2Ad5RLNK-8jjGSBq78KFr-Gyjytdz-FdqMz0dekGaLNYl5t8D9g9aaTyIycYqR2dtOs2Lwwioy7Ag/s1600/d.jpg)
e) 1-3x > 0
Solução:
1-3x > 0
-3x >-1
3x < 1 *
x < 1/3
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhAOIQ4vhjEgCaVjUORyIIeXi5YEx5ya78oWG8I9aVCAN6Qf5659HS2Wb91G58t0MF0etNv4pv7JG-tWWaDasznKj1UzI4bOyzNQvIvgCFqi7MROi28rLOdyPYm4Y1lRCMC9p7UT8xYWged/s1600/e.jpg)
f) 2x +1 ≥ 3x
Solução:
2x +1 ≥ 3x
2x - 3x ≥-1
-x ≥ -1
x ≤ 1 *
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiubQocHO7a7H6BuShoNd9tVKa2ynQznlChHZ1R6F9pMxvwHKKbKlHXjrFYKqveVZytyTUxReQIKCh81DiB5YsHz0Az2ocIp6OmzObyOaD2ivXKAHxvQ7gu7fulZi8Fw1o_7gNrp-cPs9HA/s1600/f.jpg)
2. Estude o sinal da expressão.
Dica: Estudar o sinal de uma equação é determinar para que valores de x , a equação é nula, positiva ou negativa.
a) 3x-1
Solução:
Estudando o sinal de 3x - 1:
3x-1 < 0 3x < 1 x < 1/3 | 3x-1 = 0 3x = 1 x = 1/3 | 3x-1 > 0 3x > 1 x > 1/3 |
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEibnnMyqTULeCL-IooWsXeE2r85zPP5zncGT9-Y4aepY9tGphF27I91oj9_lhjKgTLCRe0mBI7tHTkdev5XUE2fDz1q5BmI770JZ0v1ubcuP-f5TvZc6yH77S_OiWujIwK3wZ_y1Q6U1M9v/s1600/3x-1.jpg)
Portanto,
- 3x - 1<0, para x < 1/3
- 3x - 1=0, para x = 1/3
- 3x - 1>0, para x > 1/3
b) 3-x
Solução:
Estudando o sinal de 3 - x:
3-x < 0 -x < -3 x > 3 * | 3-x = 0 -x = -3 x = 3 | 3-x > 0 -x > -3 x < 3 * |
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJD8BlLdAGWFFQko7ly5Z_aiW4h2SH70WvE-RZ25pUx8MfhyphenhyphenH2qGU1KIKub7-Zkj2WdX3wAdol8gJicUm-OmBQPPwmh-TTqLNXOQsHobryQuf3lb8kP_j3Q5L4Mvw3fFoImLBewxe_sAd3/s1600/3-x.jpg)
Portanto,
- 3 - x < 0, para x > 3
- 3 - x = 0, para x = 3
- 3 - x > 0, para x < 3
Solução:
Estudando o sinal de 2 - 3x:
2 - 3x< 0 -3x < -2 3x > 2 * x > 2/3 | 2 - 3x= 0 -3x = -2 3x = 2 x = 2/3 | 2 - 3x> 0 -3x >-2 3x < 2 * x < 2/3 |
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhe2igAYfas-rHP4qm4P-EL-9OH-F1XVg-9dLTJiL0zktndn2eDqLZvQG3NmGRwGcPb0RDh9V4syLVjfWb7BDN32Qb2xLDViAb_RX7Tces5ZUaqmzydwyrSo_i9ySd4PHBAojoYnKfOH8bT/s1600/2-3x.jpg)
Portanto,
- 2 - 3x < 0, para x > 2/3
- 2 - 3x = 0, para x = 2/3
- 2 - 3x > 0, para x < 2/3
Solução:
Estudando o sinal de 5x + 1:
5x + 1< 0 5x < -1 x < -1/5 | 5x + 1< 0 5x < -1 x < -1/5 | 5x + 1< 0 5x < -1 x < -1/5 |
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7-zbNPSiFhDIQaVBnxaoiGxXaiv5zEYGnKyzRfzlykcdjsDQBkaxQhQIluB6fQXVbTpjGZxBaAkRDyTFkOwVG7081ReLcTXOlV0_APCLDiuOafqlehXsBXZbTbKeefJFbMkUJWIw8RTBU/s1600/5x%252B1.jpg)
Portanto,
- 5x + 1 < 0, para x < -1/5
- 5x + 1 = 0, para x = -1/5
- 5x + 1> 0, para x > -1/5
e)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRLmfXd3zKW8Dlx3afo8amOqRbfkOZwqFCpjA7B5h_0oMN1ait_NtiUdGc7bmfx3jAQOxr4IppnqleVbMM_ff792LbBpgQSXeVfH3BnxIZD01jJ2lWihuh6MmkcYy8xVcmw2wtcLaVAHbM/s1600/e.jpg)
Solução:
Estudando o sinal de x-1:
x - 1< 0 x <1 | x - 1= 0 x =1 | x - 1> 0 x >1 |
Estudando o sinal de x-2:
x - 2< 0 x <2 | x - 2= 0 x =2 | x - 2> 0 x >2 |
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiRLmfXd3zKW8Dlx3afo8amOqRbfkOZwqFCpjA7B5h_0oMN1ait_NtiUdGc7bmfx3jAQOxr4IppnqleVbMM_ff792LbBpgQSXeVfH3BnxIZD01jJ2lWihuh6MmkcYy8xVcmw2wtcLaVAHbM/s1600/e.jpg)
- Se x-1 < 0 e x-2 < 0, logo
>0 (- / - = +)
- Se x-1 >0 e x-2 <0 , logo <
<0 (+/- = -)
- Se x-1 >0 e x-2 >0 , logo
>0 (+ / + = +)
- Se x - 1 =0 , logo
= 0
- Se x-2 = 0, logo
não estará definido! ( 1° mandamento da Matemática)
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdpX7tOxoSXVEYdtdd6TCyjOgDCAg1uNpdlM6jwPwSf1YsOo5gofuEZfN2kref5av4tLj046diCeLYD5AU91dhS7fOulOO1_bEM6hkXMK1kRGuyVh7dX0TqP-6CdfLJnYWZ8YwuiTJc00y/s1600/x-1x-2.jpg)
Portanto,
< 0, para 1 < x < 2
= 0, para x = 1
> 0, para x < 1 ou x > 2
nao está definido em x = 2
Solução:
Estudando o sinal de 2x + 1:
2x+1<0 2x<-1 x<-1/2 | 2x+1=0 2x=-1 x=-1/2 | 2x+1>0 2x>-1 x>-1/2 |
Estudando o sinal de x-2:
x - 2< 0 x <2 | x - 2= 0 x =2 | x - 2> 0 x >2 |
Estudando o sinal de (2x + 1)(x - 2):
- Se 2x+1 < 0 e x-2 < 0, logo (2x + 1)(x - 2) > 0 (- x - = +)
- Se 2x+1 >0 e x-2 <0 , logo (2x + 1)(x - 2) < 0 (+ x - = -)
- Se 2x+1 >0 e x-2 >0 , logo (2x + 1)(x - 2) > 0 (+ x + = +)
- Se 2x+1 =0 ou x - 2 =0, logo (2x + 1)(x - 2) = 0
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgg0-a3b9GpSNYNDetXZEkXWKfbx2TRO-mRdZAkSgGUDfhGqJOnxTksXnwi02Qs8f1ylO2ekATzilj7ZWoTCLxNgr3mlYpde17UUmoQkdtLJRgrCdq1mI2gm3mZIeVfjxE8r1qA3Xa44sTG/s1600/2x%252B1x-2.jpg)
Portanto,
- (2x+1)(x-2)< 0, para -1/2 < x < 2
- (2x+1)(x-2) = 0, para x = -1/2 ou x = 2
- (2x+1)(x-2)> 0, para x <-1/2 ou x > 2
g)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjolFVb0MB3mzIlcz7xzL4KOiHSq_6oU4hfB0Cokz162S1HGyp25e1FnkOmzuvHU_FT3YYsbr0ElzbSX8yUbi7-fP15ZHh0qq26wEURDUgYwkix_jeV7RsFx-WxObElItH0JhBf4P5iO0K0/s1600/g.jpg)
Solução:
Estudando o sinal de 2 - 3x:
2 - 3x< 0 -3x < -2 3x > 2 * x > 2/3 | 2 - 3x= 0 -3x = -2 3x = 2 x = 2/3 | 2 - 3x> 0 -3x >-2 3x < 2 * x < 2/3 |
Estudando o sinal de x+2:
x + 2< 0 x < -2 | x + 2= 0 x =-2 | x + 2> 0 x > -2 |
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjolFVb0MB3mzIlcz7xzL4KOiHSq_6oU4hfB0Cokz162S1HGyp25e1FnkOmzuvHU_FT3YYsbr0ElzbSX8yUbi7-fP15ZHh0qq26wEURDUgYwkix_jeV7RsFx-WxObElItH0JhBf4P5iO0K0/s1600/g.jpg)
- Se 2 - 3x > 0 e x+2 < 0, logo
< 0 (+ / - = -)
- Se 2 - 3x >0 e x+2 >0 , logo
> 0 (+/+ = +)
- Se 2 - 3x<0 e x+2 >0 , logo
> 0 (- / + = -)
- Se 2 - 3x =0 , logo
= 0
- Se x+2 = 0, logo
não estará definido! ( 1° mandamento da Matemática)
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZDWFwI-pfssA3IsEXtQPMIYUHBug17HS0Qo34VwNeJ-8VxsHPaX1NH-sGOS_kDXNrs3PIMD_8k4Sfs_krAmimGMdbincxE9CIhHXyD-POehP-hB5hLRJ145X7Lvb3PXkGmUPt21X5RSmy/s1600/g.jpg)
Portanto,
< 0, para x < -2 ou x > 2/3
= 0, para x = 2/3
> 0, para -2 < x < 2/3
nao está definido em x = -2
h)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5sa6BLz8j2de3AGg-1z8UmJFiYcUaJ4sO3kFVjS9B0wGdPnrHOMliU8eCgGdb3u3LtgNjlBFO9NDg9p86o_DD2LTzsQCWEq2t1u9Rb0m-esc8zmW2EXua_fA2q_i1nZrlfZCeBytZ9bau/s1600/h.jpg)
Solução:
Estudando o sinal de 2 - x:
2 - x< 0 -x < -2 x > 2 * | 2 - x = 0 -x = -2 x = 2 | 2 - x> 0 -x > -2 x < 2 * |
Estudando o sinal de 3-x:
3 - x< 0 -x < -3 x >3* | 3 - x = 0 -x = -3 x = 3 | 3 - x> 0 -x > -3 x < 3* |
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5sa6BLz8j2de3AGg-1z8UmJFiYcUaJ4sO3kFVjS9B0wGdPnrHOMliU8eCgGdb3u3LtgNjlBFO9NDg9p86o_DD2LTzsQCWEq2t1u9Rb0m-esc8zmW2EXua_fA2q_i1nZrlfZCeBytZ9bau/s1600/h.jpg)
- Se 2 -x > 0 e 3-x > 0, logo
> 0 (+ /+ = +)
- Se 2 - x < 0 e 3-x > 0 , logo
< 0 (-/+ = -)
- Se 2 - x<0 e 3-x <0 , logo
> 0 (- / - = +)
- Se 2 - x =0 , logo
= 0
- Se 3 -x = 0, logo
não estará definido! ( 1° mandamento da Matemática)
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4y-qBVtFDUMiL2dVqa-9ZayrghsYslWeoGHqZoEKYkbWm9O8wqTsjKj1B6bn_32chkvllEW3oXZvQtVn5Z_Qqp6dDFFy10coMcqx5rrZmWskwyjcCNN-HiU-WBrC4w1kw6ejH8iOg2ZGW/s1600/h.jpg)
Portanto,
< 0, para x < -2 ou x > 2/3
= 0, para x = 2/3
> 0, para -2< x < 2/3
nao está definido em x= -2
i) (2x - 1)(3 - 2x)
Solução:
Estudando o sinal de 2x - 1:
2x-1<0 2x<1 x<1/2 | 2x-1=0 2x=1 x=1/2 | 2x-1>0 2x>1 x>1/2 |
Estudando o sinal de x-2:
3 - 2x< 0 -2x < -3 2x > 3 * x > 3/2 | 3 - 2x= 0 -2x = -3 2x = 3 x = 3/2 | 3 - 2x> 0 -2x > -3 2x < 3 * x < 3/2 |
Estudando o sinal de (2x - 1)(3 - 2x):
- Se 2x - 1 < 0 e 3 - 2x > 0, logo (2x - 1)(3 - 2x) >0 (- x + = -)
- Se 2x - 1 >0 e 3 - 2x >0 , logo (2x - 1)(3 - 2x)<0 (+ x + = +)
- Se 2x - 1 >0 e 3 - 2x <0 , logo (2x - 1)(3 - 2x) >0 (+ x - = -)
- Se 2x - 1 =0 ou 3 - 2x =0, logo (2x - 1)(3 - 2x) =0
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLMqJyA40JkZB7mzRcs6AFsHJ6jLqNWYhTn8omwgYSTKYwJGGb1u8TOW2MbBd08rXUGpK6YpTeWpJf4zlstxagKr9cwl50lPn-v0cDbZ137Kae_AKb8WUMhxoIOW8nmpULgvuKRgsuCsLd/s1600/i.jpg)
Portanto,
- (2x - 1)(3 - 2x)< 0, para x < 1/2 ou x > 3/2
- (2x - 1)(3 - 2x) = 0, para x = 1/2 ou x = 3/2
- (2x - 1)(3 - 2x)> 0, para 1/2 < x < 3/2
j) x(x - 3)
Solução:
Estudando o sinal de x - 3:
x - 3<0 x < 3 | x - 3=0 x = 3 | x - 3>0 x > 3 |
Estudando o sinal de x(x - 3):
- Se x < 0 e x - 3< 0, logo x(x - 3) >0 (- x - = +)
- Se x >0 e x - 3 <0 , logo x(x - 3)<0 (+ x - = -)
- Se x >0 e x - 3 >0 , logo x(x - 3) >0 (+ x + = +)
- Se x =0 ou x - 3 =0, logo x(x - 3) =0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqa2ZhxZIICRXv252RPyYYMr9s86m6a27wmpcW8QaiYEa61qCouVRUUrG5BRyWGxmh0jPpR9-wElYx8qBE8bDJM3Amw6IfVgyEw-PFDwnQayA07RVIXde9yUcNyauUlOQu1L7nZFvkiezP/s1600/j.jpg)
Portanto,
- x(x - 3)< 0, para 0 < x < 3
- x(x - 3) = 0, para x = 0 ou x = 3
- x(x - 3)> 0, para x < 0 ou x > 3
l) x(x - 1)(2x + 3)
Solução:
Estudando o sinal de x-1:
x - 1< 0 x <1 | x - 1= 0 x =1 | x - 1> 0 x >1 |
Estudando o sinal de 2x + 3:
2x + 3< 0 2x < -3 x <- 3/2 | 2x + 3= 0 2x = -3 x =- 3/2 | 2x + 3> 0 2x > -3 x >- 3/2 |
Estudando o sinal de x(x - 1)(2x + 3) :
- Se x <0 , x - 1<0 e 2x + 3 <0, logo x(x - 1)(2x + 3)
< 0 (- x -x -= -) - Se x<0 , x-1<0 e 2x+3 >0, logo (2x - 1)(3 - 2x)>0 (- x - x + = +)
- Se x >0 ,x - 1<0 e 2x + 3>0, logo (2x - 1)(3 - 2x) >0 (+ x - x += -)
- Se x >0 ,x - 1>0 e 2x + 3>0, logo (2x - 1)(3 - 2x) >0 (+ x + x += +)
- Se x =0 ,x - 1=0 e 2x + 3=0, logo (2x - 1)(3 - 2x) =0
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfCuh5XWX5163r9LjBgqgR2pUe6NKiw0dn5csOf1TThxchEp7W7SoB-wzMX7VxJf-Z4wOfFRoQrJ3bCRusg9XAnp8fCtO3vI4I7rGW00XDdh3IYao0_P2_X3WbjdcK1Vtsxir1FxMpsOVG/s1600/l.jpg)
Portanto,
- x(x - 1)(2x + 3)< 0, para x < -3/2 ou 0 < x < 1
- x(x - 1)(2x + 3) = 0, para x = -3/2 , x = 0 ou x = 1
- x(x - 1)(2x + 3)> 0, para -3/2 < x < 0 ou x > 1
m) (x - 1)(1 + x)(2 - 3x)
Solução:
Estudando o sinal de x-1:
x - 1< 0 x <1 | x - 1= 0 x =1 | x - 1> 0 x >1 |
Estudando o sinal de 1 + x:
1+x< 0 x < -1 | 1+x= 0 x = -1 | 1+x> 0 x > -1 |
Estudando o sinal de 2 - 3x:
2 - 3x< 0 -3x < -2 3x > 2 * x > 2/3 | 2 - 3x= 0 -3x = -2 3x = 2 x = 2/3 | 2 - 3x> 0 -3x >-2 3x < 2 * x < 2/3 |
Estudando o sinal de (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) :
- Se x -1<0 , 1 + x<0 e 2 - 3x >0, logo(x - 1)(1 + x)(2 - 3x)
> 0 (- x -x + = +) - Se x - 1<0 , 1 + x>0 e 2 - 3x >0, logo (x - 1)(1 + x)(2 - 3x)<0 (- x + x + = -)
- Se x -1 <0 ,1 + x>0 e 2 - 3x<0, logo (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) >0 (- x + x -= +)
- Se x -1 >0 ,1 + x>0 e 2 - 3x<0, logo (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) <0 (+ x + x -= -)
- Se x -1 =0 ,1 + x=0 e 2 - 3x=0, logo (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) =0
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSRKQAmhvQC-0SI9jpj2HVWANQ8SIQoXRG2pcLAJqHYL3WnmGVH2-pbH3VYfzi3yUlDZs7Wtg4zp0gjPXngqEbTczL-n5lFZdYB-AS64UGSEzZ06s_FVDBySV4lnCccmMCuFDIioBi7OTW/s1600/m.jpg)
Portanto,
- (x - 1)(1 + x)(2 - 3x)< 0, para -1 < x <2/3 ou x > 1
- (x - 1)(1 + x)(2 - 3x) = 0, para x = -1 , x = 2/3 ou x = 1
- (x - 1)(1 + x)(2 - 3x)> 0, para x < -1 ou 2/3 < x <1
n) x(x² + 3)
Solução:
Considerando que x² + 3 será sempre positivo, independente do valor de x, esse termo não influencia no estudo do sinal . Assim x determinará portanto o sinal da equação.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxWIJnoKwQJr6Xu2NvotpIlHg_5mB9cWMdiG6hrCHsQ0s7ZZj_9ClXN9z9YDgZIbGiKyoJAqyfBZztgOnbSWqdhNzUjdzYtV3TfGuPUKCcFLnyMlninF-KtqKeMYj_OwVGph_iIbYcNj1M/s1600/n.jpg)
Portanto,
- x(x² + 3)< 0, para x < 0
- x(x² + 3) = 0, para x = 0
- x(x² + 3)> 0, para x >0
Solução:
Considerando que x² + 1 será sempre positivo, independente do valor de x, esse termo não influencia no estudo do sinal . Assim estudaremos somente o sinal de 2x-1, que determinará portanto o sinal da equação.
Estudando o sinal de 2x - 1:
2x-1<0 2x<1 x<1/2 | 2x-1=0 2x=1 x=1/2 | 2x-1>0 2x>1 x>1/2 |
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKbq06bBu8dekjlAeYyuUj-VSWhn9mZQAKkM2zK3Zq4ft461647nt6s6RpXIUchvUS8D52ftb-gKstz-NQbyOj1L05vX57CKKnsfdNhBNaTD_yHQlgripK0MAYhL2jpuNKV2kH8jyA5N-F/s1600/o.jpg)
Portanto,
- (2x - 1)(x² + 1)< 0, para x < 1/2
- (2x - 1)(x² + 1) = 0, para x = 1/2
- (2x - 1)(x² + 1)> 0, para x >1/2
Solução:
Estudando o sinal de ax + b, com a > 0:
ax + b < 0 ax < -b x < -b/a | ax + b = 0 ax = -b x = -b/a | ax + b > 0 ax > -b x > -b/a |
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8x32IyZbRK1kuJQ4lmHw_DWBQ8K8D2EJ05lOZDMzn3eYdEruZU99wpsN8kmKYWgybVczHSWd10RCNsqNX6vuk88HNKj7NXH5von4qpBU8uuoFaN0G-y86HFfm8xmPs3kmbvsCqNg_-E2T/s1600/p.jpg)
Portanto,
- ax+b<0, para x <-b/a
- ax+b=0, para x = -b/a
- ax+b>0, para x >-b/a
Solução:
Vimos no exercicio anterior que a raiz da equação ax + b é -b/a, isto é, quando x = -b/a , ax + b = 0. Logo , no grafico a reta cruza o eixo x em -b/a. Considerandando que a < 0 , a função é decrescente. Veja o gráfico:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh6m-Dk6BafmwfdC0VAXrJSQQQPcSboxUEAgFP6btBKICJsFRq7894MeueC303Oy7BgNCX6G7Olfy5SkChOijHxAwdT0Glb3x8IxKPxEpWFePCRrMWLVhLwVoKYZYLnNHcUoVeW9CNT7YC-/s1600/q.jpg)
Portanto,
- ax+b<0, para x >-b/a
- ax+b=0, para x = -b/a
- ax+b>0, para x <-b/a
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirAInp9FVKKYVlh7t4hpIJDQt1RlX_TMg-sbxV-8wzTpFRiThT7fll9l3zLka0_1m-9Zsmdd-toA8DGW5c-NGv8ZaVrMLau8lmiV6DsuF49iVASbxUheEuYpXOtyGXtw3n0qwY8E48daY0/s320/genericamente.jpg)
3. Resolva a inequação.
Dica: Ao fazer o estudo do sinal podemos encontrar a solução da inequação facilmente. Observe que todas as funções que compõem as inequações são da forma ax + b, logo para fazer o estudo do sinal basta usar a fórmula genérica .
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirAInp9FVKKYVlh7t4hpIJDQt1RlX_TMg-sbxV-8wzTpFRiThT7fll9l3zLka0_1m-9Zsmdd-toA8DGW5c-NGv8ZaVrMLau8lmiV6DsuF49iVASbxUheEuYpXOtyGXtw3n0qwY8E48daY0/s320/genericamente.jpg)
a)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRYepW7KYKGXjhlxtU-7YxVeQ2bCc3xwG2hKouaDsUXSnns4Rs-RAMB16NdhIv-IoYp5rlHK00SRdIPWVxzdvU_CZPAtamwmyEhupZe0S3aMV36Nz2lwAeu7nqe4tiZlCLCKaUS4OEcxx2/s1600/a.jpg)
Solução:
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRYepW7KYKGXjhlxtU-7YxVeQ2bCc3xwG2hKouaDsUXSnns4Rs-RAMB16NdhIv-IoYp5rlHK00SRdIPWVxzdvU_CZPAtamwmyEhupZe0S3aMV36Nz2lwAeu7nqe4tiZlCLCKaUS4OEcxx2/s1600/a.jpg)
1. Encontrando a raiz de 2x - 1:
2x-1 = 0
2x = 1
x=1/2
A raiz de 2x - 1 é 1/2.
2. Encontrando a raiz de x + 1:
x + 1 = 0
x = -1
A raiz de x + 1 é -1.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinaymVlyCDA5l6s2nB-CcdOj67l-wr0ICNvpY_tgX9NKAmyLjrYhP2T5yLrtV81Y2ViwPiBhbmDVtobsn25Q6rgx17QF0eIOyfOkQyilSGmPVWSzhQ_5q3HZPIibIHc06XlrV1WJumwdgB/s1600/a.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjRYepW7KYKGXjhlxtU-7YxVeQ2bCc3xwG2hKouaDsUXSnns4Rs-RAMB16NdhIv-IoYp5rlHK00SRdIPWVxzdvU_CZPAtamwmyEhupZe0S3aMV36Nz2lwAeu7nqe4tiZlCLCKaUS4OEcxx2/s1600/a.jpg)
b)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhqypC8ieMvlbrwNSvC0eTXAgWc1N0nhhu4kEabFCx5l2aXv5hCEhZU80hkeMW-xiBew7getprZgYLbZ-xZ34Vju3rxlcC6XxJet6-URMq0ZscFkn4k8R31Hk4bfobJoqzUKKRqB2sJNHU/s1600/b.jpg)
Solução:
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhqypC8ieMvlbrwNSvC0eTXAgWc1N0nhhu4kEabFCx5l2aXv5hCEhZU80hkeMW-xiBew7getprZgYLbZ-xZ34Vju3rxlcC6XxJet6-URMq0ZscFkn4k8R31Hk4bfobJoqzUKKRqB2sJNHU/s1600/b.jpg)
1. Encontrando a raiz de 1 - x:
1 - x= 0
-x = -1
x=1
A raiz de 1 -x é 1.
2. Encontrando a raiz de 3 - x:
3 - x= 0
-x = -3
x=3
A raiz de 3 - x é 3.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiN2MtTMPcZ0IaU82luwGWiFiC5z53o13Rx2Tm5Tk82UNn-2LfvzU6jeAjkvDia387yNui-D2FIC90z7QzTTh-qYT3iVeOCKtMht7gFAY7yx901OatgUi43zqqP5G6zvqtYE5xtbR7H9lUF/s1600/b.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhqypC8ieMvlbrwNSvC0eTXAgWc1N0nhhu4kEabFCx5l2aXv5hCEhZU80hkeMW-xiBew7getprZgYLbZ-xZ34Vju3rxlcC6XxJet6-URMq0ZscFkn4k8R31Hk4bfobJoqzUKKRqB2sJNHU/s1600/b.jpg)
c)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEha6s2zMZmstY5QL7ZblJ7I52LrjbXgrP1_eXDNmKSbX6NtqtSxgiwSL0cc9CujILeU9z28D_VJjnwv5LaGJmfZRF1eNOZ9N2gQ-oXa-QOTeNsHLJwyQq5hdg6siP-8Rgj2wH2pchiPg9Jh/s1600/c.jpg)
Solução:
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEha6s2zMZmstY5QL7ZblJ7I52LrjbXgrP1_eXDNmKSbX6NtqtSxgiwSL0cc9CujILeU9z28D_VJjnwv5LaGJmfZRF1eNOZ9N2gQ-oXa-QOTeNsHLJwyQq5hdg6siP-8Rgj2wH2pchiPg9Jh/s1600/c.jpg)
1. Encontrando a raiz de x - 2:
x - 2= 0
x = 2
A raiz de x - 2 é 2.
2. Encontrando a raiz de 3x + 1:
3x + 1= 0
3x = -1
x=-1/3
A raiz de 3x+1 é -1/3.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1R0rfOcDd99NhmMFN3Cphz3-8EE7_2S9lI6_00wnkjQOYRHfEHQwilL-b6AW3kxW-zx89646h3XLABX6fzbVX1hnjIbjtx2m7tEdLiH8zaCgaBL9aeb3QeQp0WRF-Q1SQbZ5pI3MedOPn/s1600/c.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEha6s2zMZmstY5QL7ZblJ7I52LrjbXgrP1_eXDNmKSbX6NtqtSxgiwSL0cc9CujILeU9z28D_VJjnwv5LaGJmfZRF1eNOZ9N2gQ-oXa-QOTeNsHLJwyQq5hdg6siP-8Rgj2wH2pchiPg9Jh/s1600/c.jpg)
d) (2x -1)(x+ 3)<0
Solução:
Estudando o sinal de (2x -1)(x+ 3):
1. Encontrando a raiz de 2x-1:
2x - 1= 0
2x = 1
x = 1/2
A raiz de 2x-1 é 1/2.
2. Encontrando a raiz de x + 3:
x + 3= 0
x = -3
A raiz de x + 3 é -3.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTTLTBNopjTVze88rAGFFjiEFrVIFcEUimwS9CdUN71AjrJ0dPvd9N7naYK7B5mX1MvPlxnPnqJT4ewgblBosCmyv1FQRFdfSK6F43-GMnXqUiyTp8JRYRsRZM27mABjIRrw84I_lCJimA/s1600/d.jpg)
Logo,(2x -1)(x+ 3)<0 para -3 < x < 1/2
e)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihBONlrXmjYNENaBdyQVgOy-CTHyR_vz49l1yHPNf8socpuzi4CUjKB8KtoTJKLUhvTKjoBtwdKek3buZgyu4C6saYdCLBRh6JugieyjtIHyrnxQGMAqI5lniFyfYv30yRZcp-zAxC_i7i/s1600/e.jpg)
Solução:
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihBONlrXmjYNENaBdyQVgOy-CTHyR_vz49l1yHPNf8socpuzi4CUjKB8KtoTJKLUhvTKjoBtwdKek3buZgyu4C6saYdCLBRh6JugieyjtIHyrnxQGMAqI5lniFyfYv30yRZcp-zAxC_i7i/s1600/e.jpg)
1. Encontrando a raiz de 3x - 2:
3x - 2= 0
3x = 2
x=2/3
A raiz de 3x - 2 é 2/3.
2. Encontrando a raiz de 2-x:
2-x = 0
-x = -2
x = 2
A raiz de 2-x é 2.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhIoSqYEOkLO-vvtHtaudF7FJRe5YInjfrPx4E0d_XZA6wGH9Rpa6YxmKkEpWzAOKZkvukQnr0AzjwI-FTzGRAJAAG2iQrHRZBuwFSNemDR1RpSRSpmqPLo6Yzl8O2pG5qSl0bgFK1RVIDY/s1600/e.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihBONlrXmjYNENaBdyQVgOy-CTHyR_vz49l1yHPNf8socpuzi4CUjKB8KtoTJKLUhvTKjoBtwdKek3buZgyu4C6saYdCLBRh6JugieyjtIHyrnxQGMAqI5lniFyfYv30yRZcp-zAxC_i7i/s1600/e.jpg)
f) x(2x - 1) ≥ 0
Solução:
Estudando o sinal de x(2x - 1):
1.A raiz de x é 0.
2. Encontrando a raiz de 2x - 1:
2x - 1= 0
2x = 1
x = 1/2
A raiz de 2x - 1 é 1/2.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFm7-QgBFpPi9JV0fW2zK1zBOR6vsk6QOQkkJNc0byttSJBtI04TMSUOl2QesI42uRuc0u3Fj-_hyqiqkWgGLVuA57QozSpfl-jiw8aE6LwhUpzPyxpQMY3lMe-C8eGmG0Ym6QPIW-8C3c/s1600/f.jpg)
Logo, x(2x - 1) ≥ 0 para x ≤ 0 ou x ≥ 1/ 2
g) (x - 2)(x + 2) > 0
Solução:
Estudando o sinal de (x - 2)(x + 2):
1. Encontrando a raiz de x-2:
x-2= 0
x = 2
A raiz de x-2 é 2.
2. Encontrando a raiz de x + 2:
x + 2= 0
x = -2
A raiz de x + 2 é -2.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhmwT49lxNU2RT-vH2WsxtHrtMO0lT3iPf2F1YxRzF6oF7AWwoNm70Phlh12IP1y9kntvI3KWJmCXa0SZWj-n_7bLepcx32f_GPPlgtXckrdt2MeHx_W01gKBCpItAJWsbnnhnfTkGoykMW/s1600/g.jpg)
Logo,(x - 2)(x + 2) > 0 para x < -2 ou x > 2
h)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9sUWC38tXIRA2B7oUGqVMfNSxRwxi7tYdwm6AxpY9dDJXWivpE9LuNNDn06S4yqEfbXj1HR0ta8JM58MldvlNncTmscTh0Fd5URq7MWx088EqGwWc1R9TJYY1lQov8gTCjCfxrfMj3eCx/s1600/h.jpg)
Solução:
Antes é necessário deixar a desigualdade em relação a 0.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJGEhIToAts8FS0FFtgxHoW3QH_FoZrKkLztPsf-GPp-BFoD2Crp42_3rz2tGdGOBzJmDPf-mJzHjPRryikH4O_RhyphenhyphenUc7-y22H_vvpMqG9ncs7JwRMjLk2h6BBxTEuUW7eoo-2liBiN4aB/s1600/conversao.jpg)
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVhWiWtdTGpJgMAo1CBE0uREEydfM4u8FVf7E5xQ4-vlFV57VYx8clpp_MM24f12x0SvmZu_iBJ8hpEmLQWChlUSEPiBV8szH1sKOn0kvge_HNwN8Kh6XAyTTbF66_5NTV-_ujNZ1FgG8C/s1600/novaformula.jpg)
1. Encontrando a raiz de -3x+14:
-3x+14= 0
-3x= -14
3x= 14
x = 14/3
A raiz de -3x+14 é 14/3.
2. Encontrando a raiz de x - 3:
x -3= 0
x = 3
A raiz de x - 3 é 3.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiY1XCdFXdWww3Hb8NT-rmUOKnk5w721e2HTDMF9NzbaUohe9X3vzNWus4aGQkJpFJVsAYtBL2lvj1Jwad6vFmxpbTcIMa6_YoCURmk-3JF8-hA-Cha-pDtkMZweWEzBC5e-KsXP8loR3EE/s1600/h.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVhWiWtdTGpJgMAo1CBE0uREEydfM4u8FVf7E5xQ4-vlFV57VYx8clpp_MM24f12x0SvmZu_iBJ8hpEmLQWChlUSEPiBV8szH1sKOn0kvge_HNwN8Kh6XAyTTbF66_5NTV-_ujNZ1FgG8C/s1600/novaformula.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9sUWC38tXIRA2B7oUGqVMfNSxRwxi7tYdwm6AxpY9dDJXWivpE9LuNNDn06S4yqEfbXj1HR0ta8JM58MldvlNncTmscTh0Fd5URq7MWx088EqGwWc1R9TJYY1lQov8gTCjCfxrfMj3eCx/s1600/h.jpg)
i)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLp5MQGwsnVrf0ZkRC00kP9jj8NeRGb6c_p7d3IE-3iZQgCtN_GZdEG_so5TYJmuMkImhfOW853WjXaMBtEzIf3QiZLHXa_x7QiovMlUdUHF902JNwt9YYprrQs1-BD7ZLm4KumhXth-fa/s1600/i.jpg)
Solução:
Antes é necessário deixar a desigualdade em relação a 0.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhqlddSO5aH60LodI5Aog4Uhhg5kt4wk1k3TQD_hKXYPBsGFBTvJX0n-usIAutWcOKItClokHH86iy2r1ycXuj6lil_FmJaEVxhzUCo_N4p-fUzgGtJyEze30kbhKkKSdqAvHMTIOJ9K60I/s1600/conversao.jpg)
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIK5PnoEor_lvo5lC0RtN1x2tfKvxdpTAA4IV5lIDPWh5Pa8fp-vf_BwXTIc2hSZAknhKcDi6wapQ0k03BpW1ytCRDTF0A9DW8rIcWu7XaqDeoMmPi9SfG8S_d5WZ2miNPkHHlf7aHUFIS/s1600/novaformula.jpg)
1. Encontrando a raiz de -5x+9:
-5x+9= 0
-5x= -9
5x= 9
x = 9/5
A raiz de -5x+9 é 9/5.
2. Encontrando a raiz de 2x - 3:
2x -3= 0
2x= 3
x = 3/2
A raiz de 2x - 3 é 3/2.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgu9YY3095kFFq8GR1xLiOTm3pzyAH17cKwz6V4tmvPMVYd1uVfK0-Uu0LIVvfUwKjz4UPk-yvAZOpI3zYi7Yed6OdOnCeq1lXAf9MjCd14kW1CRP8R8OE14oZMPR8RTGlV5rxh7tqS9UfW/s1600/i.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIK5PnoEor_lvo5lC0RtN1x2tfKvxdpTAA4IV5lIDPWh5Pa8fp-vf_BwXTIc2hSZAknhKcDi6wapQ0k03BpW1ytCRDTF0A9DW8rIcWu7XaqDeoMmPi9SfG8S_d5WZ2miNPkHHlf7aHUFIS/s1600/novaformula.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLp5MQGwsnVrf0ZkRC00kP9jj8NeRGb6c_p7d3IE-3iZQgCtN_GZdEG_so5TYJmuMkImhfOW853WjXaMBtEzIf3QiZLHXa_x7QiovMlUdUHF902JNwt9YYprrQs1-BD7ZLm4KumhXth-fa/s1600/i.jpg)
j)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisfPDGkk4CciuF2BZKGpeJqrbImATTlu1xVJMVIgp-HsrA9tpjLzNTNHMQW4hhyphenhyphenM9L4i4VJsUhtcXYFLUMqbImR-f2CoFErg8mgrOnbTlABhPwlPPKQuCRT_Ix9GFBRfUqGzddrojmhlAB/s1600/j.jpg)
Solução:
Antes é necessário deixar a desigualdade em relação a 0.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPqsxkJitj0Iu9U_goLEsNcRhAgWIi1QN5eW6FODirwXKG5PtCapc7svwXh7zrSF1oPOI4jIGsP8cjARasEfb7FwYoFjTYi9XWdbT7SkcvPGaqemSpwUeC5cen0qOrnbCuRXR3PuGmJFyU/s1600/conversao.jpg)
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheAcMiH0AkzCbCpSFqZykP2h16qzKMXSEF7pVJ4jS54ZKOltonQVXHkgUQB_yFPhh8PlCvI4kJuG3E8yUXob3Kmmg3XIu1Wof9ahZd862cHyEGCulng57ZdS8FlsqsdtfRQAhR_OIxnpMm/s1600/novaformula.jpg)
1. Encontrando a raiz de 2x-3:
2x-3= 0
2x= 3
x= 3/2
A raiz de 2x-3 é 3/2.
2. Encontrando a raiz de 2-x:
2-x= 0
-x=-2
x = 2
A raiz de 2-x é 2.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjF_tpCWepQ85MkNly6x8qnXLgHBQu3mDhYIpcjdavJo2CDY2v7J64zzx9mI-pkdUICL1JAEQbreQL9s3rI_dAomt3utMA94mUMyJ6mS6sWo16PXOvBrF7NTFV1oyHfzdOf-x_JFb2nZTvY/s1600/j.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheAcMiH0AkzCbCpSFqZykP2h16qzKMXSEF7pVJ4jS54ZKOltonQVXHkgUQB_yFPhh8PlCvI4kJuG3E8yUXob3Kmmg3XIu1Wof9ahZd862cHyEGCulng57ZdS8FlsqsdtfRQAhR_OIxnpMm/s1600/novaformula.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEisfPDGkk4CciuF2BZKGpeJqrbImATTlu1xVJMVIgp-HsrA9tpjLzNTNHMQW4hhyphenhyphenM9L4i4VJsUhtcXYFLUMqbImR-f2CoFErg8mgrOnbTlABhPwlPPKQuCRT_Ix9GFBRfUqGzddrojmhlAB/s1600/j.jpg)
l) x(2x - 1)(x + 1) > 0
Solução:
Estudando o sinal de x(2x - 1)(x + 1):
1. Encontrando a raiz de 2x - 1:
2x - 1= 0
2x = 1
x = 1/2
A raiz de 2x - 1 é 1/2.
2. Encontrando a raiz de x+1:
x+1 = 0
x = -1
A raiz de x+1 é -1.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhuXGtW-lXDom7PFyvJYiNNWYswUX9Q5C9cxdihx8Th9ICMdBOrzTIeKwJMxaOlZQYTAY9mXOyxK5lssHLMYkbYiSI3JRvEzvSRUdAcEFWI-DJNRuH8yC3p_VFyPGqWC5yd5o0LijYdcLrJ/s1600/l.jpg)
Logo, x(2x - 1)(x + 1) > 0 para -1 < x < 0 ou x > 1/2.
m) (2x - 1)(x - 3) > 0
Solução:
Estudando o sinal de (2x -1)(x- 3):
1. Encontrando a raiz de 2x-1:
2x - 1= 0
2x = 1
x = 1/2
A raiz de 2x-1 é 1/2.
2. Encontrando a raiz de x - 3:
x - 3= 0
x = 3
A raiz de x - 3 é 3.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMEgbfwhrk-I_ulV-n5x_5YKkUZrE9_a3tokWCF6JDcjAegzkPOLTtwvhyphenhyphenJHVO3nPqBBee9qL14ej3ah_0xSj7_U3JVIA90hvuykIi5PecQNI4RINiCkrlgUKPf-M1SXqXlEk9iuHVOClW/s1600/m.jpg)
Logo,(2x - 1)(x - 3)> 0 para x < 1/2 ou x > 3
n) (2x - 3)(x² + 1) < 0
Solução:
Considerando que x² + 1 será sempre positivo, independente do valor de x, esse termo não influencia no estudo do sinal . Assim estudaremos somente o sinal de 2x-3, que determinará portanto o sinal da equação.
1. Encontrando a raiz de 2x - 3:
2x - 3= 0
2x = 3
x = 3/2
A raiz de 2x - 3 é 3/2.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJZ0YvF_HXjon2Pd_4MOiMagCflAS1IJkhYpoH2tj2VJZ9LPpVmbeVj-mvyd7QkikV0oH9gQp4E-Z6kJeWnyBrr3jNM-O7rRlQtSDS79NI7ZHQVaa6E8bxQTLzjaI3AGFbFW4GXvAoMcJq/s1600/n.jpg)
Logo,(2x - 3)(x² + 1) < 0 para x < 3/2.
o)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYu8-b_u8N2yzwnfsQnoBFVZm_hEUT2GV3K5KHNwl46nkAMmFIumNi4_mXaMD0P0O8xaZpxYvBXx4HPn1MDZwhJQZDvJPJu4pUI9AimU1_xiAC3t64gU28XQu6ivEd6gqrWyMX55eVdITj/s1600/o.jpg)
Solução:
Considerando que x² + 1 será sempre positivo, independente do valor de x, esse termo não influencia no estudo do sinal . Assim estudaremos somente o sinal de x-3, que determinará portanto o sinal da equação.
1. Encontrando a raiz de x - 3:
x - 3= 0
x = 3
A raiz de x - 3 é 3.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi3tgLkwo9Kg9q0XfGsj9-2s396MTbsh1wB4LczYUSictHRLlSCtDIwEv5wR1yfHLJJUqe-pvvHOheTeQurUigSPK6_mCvW6xyKD3HntlzNT2yi9v0DdWM8nZiBoHw5EN1VAdSGjpkirV-3/s1600/o.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYu8-b_u8N2yzwnfsQnoBFVZm_hEUT2GV3K5KHNwl46nkAMmFIumNi4_mXaMD0P0O8xaZpxYvBXx4HPn1MDZwhJQZDvJPJu4pUI9AimU1_xiAC3t64gU28XQu6ivEd6gqrWyMX55eVdITj/s1600/o.jpg)
4. Divida x³ - a³ por x-a e conclua que x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²)
Dica: A divisão de um polinomio F(x) por um polinomio G(x):
1. Se o grau de F(x) < G(x).
- o quociente Q(x) será 0 e o resto R(x) será igual a F(x).
- dividir o termo de maior grau de F(x) pelo de maior grau de G(x), obtendo assim o primeiro termo do quociente Q(x). Exemplo: 4x² / 2x = (4/2)(x²/x)=2x.
- multiplique esse termo do quociente pelo primeiro termo de G(x), e subtraia de F(x) e copie os demais termos de F(x).
- Repita esses passos até que o grau de F(x) seja menor que G(x), obtendo o resto R(x).
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhYkW05OpFyDy3MvbOTYBrQvIV2T9U6sQ4YApulACf_ggzJEKtYFRW7zWWXXQzT4-ApfBNPZ9RGF8GOihEkh0j0jPBJvpNqOuTo8tTD3gjZ5WzVJjBPxBymCi0_QQ_6Ove-gBDT8DYjE3u4/s1600/4.jpg)
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), substituindo temos que: x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²) Verificando: x³ - a³ = (x - a)(x² + ax + a²) x³ - a³ = x³+ax²+a²x-ax²-a²x-a³ x³-a³=x³-a³
5. Verifique as identidades.
a) x² - a² = (x - a)(x + a)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEheNQypirm4lzEfI8OUpzKP1EbD_rX5bjIjhrCdXHmLG3UrHUoJTK0dR90VpLeMg02NcuqdiCF8rDyEWoxbMkuftt4Wj2GoyL8RrCXwqtvbU3u6JK_mak_OqTe-_oLwNjNWCByMrOBMMaQE/s1600/a.jpg)
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), substituindo temos que: x² - a² = (x - a)(x + a)
b) x³ - a³ = (x - a)(x² +ax+ a²)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDKWp63Uc0V3XK_wKtFimPI0T7ijvHx_K-BGHnXxgneo9o_rhSA-tZhJdu6slKAufP0WGp6oA305-lOs6YZwXwnIr1q8ChFWTwQqGZhlXad_YyJ-pVOpNzqFVL6L_fqBMVSQyY-1phsTfG/s1600/b.jpg)
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), substituindo temos que: x³ - a³ = (x - a)(x² +ax+ a²)
c) x4 - a4 = (x - a)(x³ + ax² +a²x + a³)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvacXlblvkzDxwnWDEPI9terF1LuoIUoSUbesiYLgC32gZye2XqNp6HEZSw2vvI_kZdFpuqN5yEm3SU5jEe8N2VHBVuCe8IUhBKWKaa1Hb_vjB8crrjjNg84benemvLAgOy2wyisKNdAYv/s1600/c.jpg)
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), substituindo temos que: x4 - a4 = (x - a)(x³ + ax² +a²x + a³)
d) x5 - a5 = (x - a)(x4 + ax³ +a²x² + a³x + a4)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg7Vo00IigN5BIVqS4u2v0RyrYwjAo0RxGoWs0CrBCS_cxbuZe3zEwf5TasAPZTSxgrKSgIkc59pwYPeLJz0RLUd1Fc9wXk-YnN0UPVnneYpWjWtd2yTbZMa_DZfdXZK5RpW1p3h5wrHPp/s1600/d.jpg)
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), substituindo temos que: x5 - a5 = (x - a)(x4 + ax³ +a²x² + a³x + a4)
e) xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , onde n ≠ 0 é um natural.
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiswJhFu7gwlOdKMKZ3DVVMCMbxlMjwsudM09N1FjQMXzN0vP5TA5XoAQqWb87S-_GGPGs12ti1gtxgVMsuKtf-A0IrgDnjFrpIbGIS8IDnmN1bj13T73sfL1celG3nblH1iqbhVSikTVB6/s1600/e.jpg)
Sendo F(x) = G(x)Q(x)+R(x), considerando que a raiz da equação, temos que R(x)=0, logo: xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1)
6. Simplifique.
a)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEih69qnEO_EiroavAjSXYpkn8yc9PCXsg2CsntgQNR_u5YnEYexa31yp7y7J96om15CMmhoXKtZ9mpRz1KQ-cTRFkckAWADIziaZoZZ24-a46Klp7U8ReWuE8nmdKw38O7ciyYdR_JJ6egM/s1600/a.jpg)
Solução:
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , temos que: x² - 1 = x² - 1² =(x - 1)(x + 1) Substituindo :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5W1FTfFLH_yy8h5E397gKyf9EyHczcrIWJwGtHFwjucNfoeB6mQaqUy-cCBm73C-KcVo981Q_XxPKRR_WwFZ1WeDu9Tif8odmUaL3ua9xCWoO8XxUIMqFBrWBoC1Nfjln44HLyHUVEhq_/s1600/a.jpg)
b)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiBeo3ZnoAYN6zFy-a_6EOPNY3vtWlsqDdc8Ma-5-xZuGCiLjXIONXdaGIyITutXLliLlWIjtX6wYGqN7tnJgf50SgFe0kS8giMWuMZyeLnm9pdg4DuH2MNwSKetnl5RmS-aVP1OtjUH8Ob/s1600/b.jpg)
Solução:
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , temos que: x³ - 8 = x³ - 2³ =(x - 2)(x² + 2x + 4) x² - 4 = x² - 2² =(x - 2)(x + 2) Substituindo :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjy_-RdmdOJi6PeUbMugvLZLLKBS_Ohyphenhyphen8luoXdKb-QYHK3dYTbyj4QDprnziDrqa681Eez3Z7_4dkMLK237jPeZaXGPmuNCGYU71KbrOJQQoUAJOhEMc2Qddho7vTD222XZaBQwO80cWusk/s1600/b.jpg)
c)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJmMaNiPO5GOkCUxdg_ZFWmjbWvxouUexNOurarT3eQJIOGewR2Ose2ZowIV-bIKUYFbLtwzd_oPQj1WVybzbzRxnoFQbQbnnq6H7smuYP8Uf-lhYNFREK16UCzWvtOXcx5SYOaRvEEdY8/s1600/c.jpg)
Solução:
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , temos que: 4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3) Substituindo :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhi7X2_5L8H2TA1jc3gKaOKv1BAIjJH5H1yzwFG_1_Kj_FgVGY3p4Gce6ti1ol8B8q5c4l3ourAPfu5YPay4rxBjwpg9l4IoWucFwlbBHFwEw1jC_XVZqQvtjzTJSmUk9_3NttqaiJlGy01/s1600/c.jpg)
d)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjGypZnNNPTId73Gp8P5Wf_VWWLlw6zvpp-DIdG9u0xSnY3DxRCLqd-HdKxZ1MsSko7nQrdCFSIBIyL3k96e87vqkotRTbLVwImvVukhk4qv-PWWlI8z9-5LT8RGNkm6llPdWLcvFPKdaYd/s1600/d.jpg)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9zLcoD23JwMvbLhpo1jfrNQjDGJD8fsjg83V18CBSBq7kI9rDrGJdCmCg_F8Egoy94OlzLivklUxNSi71frOvIeyWSQlMzqDKk8Rou3-JHPtoF3bLIHTZh8FOwGSZrx6Qe5M_eeT2xCh0/s1600/d.jpg)
obs: 1 - x = - ( x - 1 )
e)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJjpmVsBv3c_cfyAFP0tgo5Uz_O5ytfq44CRDEJr1H4_biU92Coa4T9B5DJRVC8QFNK_QZJgC0oYcCZuudvHx3Q71g8Dgjz19izkaEfwHxCzegW_EsjqjEeZEHPh-Pt1IbMJe6Ut6dtQRL/s1600/e.jpg)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjm7Bd5adGJnmJdF5j9heLsicVS0gjxqSiZ8aQ9sa4-Fvu_mgpCD8szBXCeJLKUTNyynDuVIGGko_Yj6jrAYp4tvu4shiaXFJ7aUd7Rj5g7h1iYxoVhDM7NNeNZqRnSlJTIV-2vxdCPgYjY/s1600/e.jpg)
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , temos que: x² - 1 = x² - 1² = (x - 1)(x + 1) Substituindo :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEje-WaHAwRIQxRz3rptHjTLsEjkB3e9xadgZp1of6TXunYRT_MNoPA2OGM19Jkmi4TNTYTqDxT6pFz2AhusdkygnOJZMA27oCmUk-XYY_LkS_p0LdzJDv7jGPnTFTMvrGBDoBAijY5nxjj8/s1600/e-part2.jpg)
obs: 1 - x² = - ( x² - 1 )
f)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie4_XYJ8e2jqCiCBs2hBOxSD3EhvvKg5qcAOc5zOZTBtPMWxuhBmzCe-lDFJX2fa9XcO90nA1z1aFVm_bN-vNRYudr8FORAAosWeI8tC2uhLXlksu4YD1t1TWGDbU4LgsmJuWz4H5cv5Zt/s1600/f.jpg)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5jmBj-8ktX_f_jaVV6ZYO9wUpBotZHK7gdjSIjnEKYgQvbSaNkm9AgGaN1g2r1P69hNC2LW9lOtG5t_oZJIB-PZ3k8PkudBb9qHRL4TpOUV2y6JJhkSaW5Sb5yBSIqKAPIbxLYqvc54Um/s1600/f.jpg)
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , temos que: x² - 9 = x² - 3² = (x - 3)(x + 3) Substituindo :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6UgY_lxHWrqOE8BzeZNWUzYbbQU-Ty3I4WsmzBqHc7fM0GABEGnD7gV6_6pP_p8okjLUnj4ZIkf9YTDzY5Hlo_guwNVMC7GNHwNXwmW_e3qheoBwsdo41pjVPHja1z9YBeAVORs-CE5UH/s1600/f-part2.jpg)
obs: 9 - x² = - ( x² - 9 )
g)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrLgK8YrLTzfuDg90thyN_1BdgUIJm90qk9DMx6kyuSaZ4ZNoIbiQ6HVm9cf8jZufXY-DmaLLw52PDvuVLYUngB2UojvBlMfv3aEmSFYokaBG7ird5Z-Wk165MhfmBwybh2oPV_Qn2v094/s1600/g.jpg)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilVlIKk6O5t7UTQCEuu5YrM_IacTCNbhKzJOOkUEJbVYnI4MRMM9ZDkl3WOddVbrARveWrWC5QrYUsCeHIcfJFmsS2-yHanKQwTfZz7aG3NY7qkzpkl6J0WCRTSnpOtNYkW1_YFBL_1pc8/s1600/g.jpg)
obs: 5 - x = - ( x - 5 )
h)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_MmplILA01FYBRW5_EpN2Uqw7cm4Nmw2HNDc8PmZokuVCcN-FYFUU07s9hRL2jh6_C_jhezxmno5GcOTb86tI9GeM0Ai5vAgoJkrYhpdACSES35LcvNBjVJ60Pf-zzmo6DtqRFnpwAKgi/s1600/h.jpg)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFmgdd8tiKcEKo6nPt1gQnJuXMhc-4Ienf2OTH29DRVCkIvNk3lFVuMUnBNGYRj46Bkvio-hGl00yVmMqx1br2RzZEL08LJ-zLz9vZql-OZmQENqWsxpUIuVo-EHiETKHj9zmkDIdujOUb/s1600/h.jpg)
obs: p - x = - ( x - p )
i)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhdi2EUwFErvuwc8FLgC4SP5f3YUHoCHCSYFz5hzNTwBPPhSKvZ8GiDFnURAxOjVAQ6seh7sGg-fVdehyxDNXrUm9ePD6GzeWMjihNQt04i8nl_g5YGFaGDkYAMTN6bue9Y6Le7lB38aFQm/s1600/i.jpg)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifZrypXCn9OVBlLRdLVrTQe3aeDVJ3ihNmcGFToCaamU5fs-6fcR71fMSWryUkpiXauVd0ObV-MJ7DMdgNWCU4MulrKCBB2V0YH7bjm6sKFEjMKU7ASw1fo9J4bKGw7MrsTcPCmZvPO6bR/s1600/i.jpg)
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , temos que: x² - p² = (x - p)(x + p) Substituindo :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiD3sFC81yimr5cyKtsB_7vyaPu-FUDDdAsnm9hNcwpfa8Xp9PRqAWegMKcv-fBektJl_7d5R1QSwBa3mZTfWocYXhBw-_6BOBPXYBG8ghZhglPHB0tuUA1nTldVGhoy2tZ11YqSdp9cajq/s1600/i-part2.jpg)
j)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirtBpUpmAkQeqSmucTb6SlN7x1Zxg6BJeoBiAPVJz9rpOBv9kZvi_QkWXE3kmsunotArniA4hDT8-84blX8U8t9nR6kb5VoT9g8Gbnf98LkQ-VO2oovOH7J2Gf76ijya1mg25WM4Q5s4bb/s1600/j.jpg)
Solução:
Usando a formula geral xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + a²xn-3 + ... + an-2x + an-1) , temos que: x4 - p4 =(x - p)(x³ + px² + p²x + p³) Substituindo :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg6sC7CaenIwAp8W36Py7oikONONEElSTfCIE_D5zdoef1eIrclmWUAxI6hEMkr6vXtopvHajw1ThZOLi2_Yjoizgqywf97ULTbqQf3WlG1K9BKOjsAW_uHBBgfJEGEWctX1eSVA_NS2gQo/s1600/j.jpg)
l)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiOdUBGgsjBP0hopPwmfBuw1TcR64yWfIR-fwUKd-la77SXCEt8uj0C3KDk7SMBjAscRbViaYmrApjkVpwrbj5kLmAhVJgRGY41NwzMJOiRs5flFcuifNdLVkrycXbhEcb_hIQbPEnbehpq/s1600/l.jpg)
Dica: Veja as identidades dos produtos notáveis.
Solução:
Sabemos que :
( x + h )² = x² + 2hx + h² (produtos notáveis)
Substituindo:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4TnBdyGIqeO_2RA25lRcpJbZc9lXYA9fJkTtec-i-ShN3YtBeAkeGzW9S-I9GiyYfuov6glypZ-Dv48CUBRnyoBZRpl1qX8GMS5M6h6vdmSA59Ru55FavP8oajlN43BWosAbntF0j69DK/s1600/l.jpg)
m)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLidAkKd0k2eZ-J0TJgYvcd1fuqwn9Z3rPQbLOX7ZH6596z3g2cimuS_kReg9L8ymw7P-pFPcctBeciDZlCXoX6LnYWy-xPhFBhwsuLki6-_9qgfoeYCQftOJuIY5e0UrqPflUFzirfOvx/s1600/m.jpg)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3Sm4RKpbOMJaxIKcU4MkPUjlgTOkXdy1rqCRwFpPIK-nQSxRtalk315ofJjZ3n5ooCf5VhkNcx0o0D6qh4fCEdfwMn0fBVtE0igGjlUTG2QIV_y9BR3lx0ROZ7RNMcKpu9OdoUzqH7HGd/s1600/m.jpg)
n)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjm-smXF-ZI-Cx0EkoEeHv_aUJ8JyLn30i5Ha9SomjKebtGPi79zFyKgedtWfUUl-v2UcnohMEwehiTeS4PfTxCOZLsWeb0eap6TZ_hFZopedTDUYwQPYDueIHPvDSDdVcmonx5lQ9aHYSp/s1600/n.jpg)
Dica: Veja as identidades dos produtos notáveis.
Solução:
Sabemos que :
( x + h )³ = x³ + 3hx² + 3h²x + h³ (produtos notáveis)
Substituindo:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhY4U45mESOi3YN-gBItLG5fo_p0THtfTgr40BxuryM02Hnc7UK8gjzzxS77PQR4ZawkU8Si-orO6vFfffqMbMv6WDY_KFG3mZpyyxRS2e57TS4jXyiVBSBZOEt77zuJcbpEyfeantkPV8U/s1600/n.jpg)
o)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhaSdnNL_yYPikrO00z8N0N1C2pBPb8H32NwWACTMuyN30708o2WDwgSwGhK2B2iXF7rdPh3pRdA-mmEnGK2gIO28g1LUW914eYDN64_Mx0iGhpIwV0iKius8kaBd17Ntku2nZtbBAPIRGH/s1600/o.jpg)
Dica: Veja as identidades dos produtos notáveis.
Solução:
Sabemos que :
( x + h )² = x² + 2hx + h² (produtos notáveis)
( x - h )² = x² - 2hx + h² (produtos notáveis)
Substituindo:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwCavMUZGxZuMIpWCMG4OmNq_SaB-bDPT83SU9MhnRkwZbZbcglWFKKTnJQE8m3ZFm6djdN8CWOiEBv4q8kKYTHZkajzssMZpUn4O4GVJ5OhvtEqsuUbS46kuRWvOazKe1keyWjPx1okNY/s1600/o.jpg)
7. Resolva a inequação.
Dica:
1. Estudo do sinal de expressões na forma ax² - c:
a) Encontrar as raízes x1 e x2 da equação:
ax² - c = 0
ax² = c
x² = c/a
x = ± √c/a
Portanto a equação terá duas raízes inteiras de mesmo módulo e sinais diferentes. Assim, x1= √c/a e x2= - √c/a.
b) Graficamente:
- Se a > 0 :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAF5HQt2fVCfY3p_aTLq8LQx-tOl4f_v06H73BFBMtbzbNQsWq3A_xFDZhu7IlBhGIp31rczDlrv6qXGFJSNQqCXWo1FTkwXXw290gJWUaOr__KK-aCxCMOBRYlz40NIgRLOBzEikhuJSn/s1600/dica1.jpg)
- Se a < 0:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2un7Ad87K5OcLwaCJm4inxD3wS6fSvFo8OG3yKaBnpSrqIwO7nYt3T7FnBQXdCRVMFYGZJdT05qUdhTKeqJTVmY7sSe0VvrZj0SrzQmhVU50WjYyETVQk6fvzpSBDSXqFHzR0Zfaq1oTN/s1600/dica2.jpg)
2. Estudo do de expressões na forma ax + b:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEig3rcsq8kjwnVU9XPKEkAuVVevW3Go6H9qvP0b9TZzl199zUAwPG-roNOnAujP_aF6Pi4lpOmm891fUaNzKT1z8bYmSJfSyZuQu_VKVbBpcANKy4WmN0E5nVL1kLWc9FXmbs_oDI57fsJD/s320/genericamente.jpg)
a) x² - 4 > 0
Solução:
1. Estudo do sinal de x² - 4:
- Encontrar as raízes x1 e x2 da equação:
x² - 4 = 0
x² = 4
x = ± √4
x = ± 2
Assim, x1= -2 e x2= 2.
- Graficamente ( a > 0 ):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDRDgqNw2k-rGXGwP4XSCcQ2iA1aHAssM6SzYXcVxDZgjG1c0vZTrBE92SUh7LAfvuyWSpP2xCtA2KyJ5fZDH1pcjiKmInN3tCrksQ1EJypZVP36FQU-i6do8qPCuZYrnp8k2omHPem7eO/s1600/a.jpg)
Logo, x² - 4 > 0 para x < -2 ou x > 2.
b) x² - 1 ≤ 0
Solução:
1. Estudo do sinal de x² - 1:
- Encontrar as raízes x1 e x2 da equação:
x² - 1 = 0
x² = 1
x = ± √1
x = ± 1
Assim, x1= -1 e x2= 1.
- Graficamente ( a > 0 ):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguEKc9jpk23_3MXzeG-RX4f_ucwgmau2qdtsVG8dMSw9y2f22Y56t5vgoG6MncZ6qOR2gQl5-zwcw9BjC6V0Igamkhit6yWZ5HKmSQvUHWKiGFJAP3GkwZBNmQ0wrgdIQbKY3eyr9H0K12/s1600/b.jpg)
Logo, x² - 1 ≤ 0 para -1 ≤ x ≤ 1.
c) x² > 4
Solução:
Sabemos que x² > 4 ⇔ x² - 4 > 0, portanto a resolução é igual ao exercício a).
Logo, x² > 4 ⇔ x² - 4 > 0 para x < -2 ou x > 2.
d) x² > 1
Solução:
Sabemos que x² > 1 ⇔ x² - 1 > 0, portanto a resolução é igual ao exercício b).
Logo, x² >1⇔ x² - 1 > 0 para x < -1 ou x > 1.
e)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPsPoBY3lZXfI16He7Vs2QSkbikkTdmy5qnWF0uvwPGZVIE-6JfjK-2VdgevN7ISUSUX5Vz1_0ODytuk5y97bXDT29i6Z05tM_2XHXg5FS8_1z0WrbeB_CoxFtCuKG6hsg65cFcM5z5vNo/s1600/e.jpg)
Solução:
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPsPoBY3lZXfI16He7Vs2QSkbikkTdmy5qnWF0uvwPGZVIE-6JfjK-2VdgevN7ISUSUX5Vz1_0ODytuk5y97bXDT29i6Z05tM_2XHXg5FS8_1z0WrbeB_CoxFtCuKG6hsg65cFcM5z5vNo/s1600/e.jpg)
1. Estudo do sinal de x² - 9:
- Encontrar as raízes x1 e x2 da equação:
x² - 9 = 0
x² = 9
x = ± √9
x = ± 3
Assim, x1= -3 e x2= 3.
- Graficamente ( a > 0 ):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVFe3-wohli_A9-shbo2FKoc8H4EtczdVgypj4UPNwdbu5nW_yK59K3mzLLJR9Aqv7RqkEk5gh9el08TgryqeYZLQ4JIXy4yA4LiEgCllqY1-NtYECvbI0kiqVkjQN9kzsZbMYq-JqDflF/s1600/e.jpg)
2. Estudo do sinal de x+1:
- Encontrar as raíz da equação:
x + 1= 0
x = -1
A raiz de x + 1 é -1.
- Graficamente :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQtXhY-X2hyphenhyphennUmdJ7Zzv4vfLPB2iY6rSfo1M2QOLxCUWNjYFeIkoxEPIW1G_iUHl7RvDX8kEtsVt-6KcD84bCRUgMSKnnWvUF-VumKkFdsk3y7d0KRYYqqD1prmrcT8VJeWKpEz3C262Pf/s1600/x%252B1.jpg)
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgT_4fT1gGuq07E7_BiCW5nWCokUTPopxtL1Ysem6lOudoUEFRERT3ST_Ksj4ffYFpw9d3CMz1OJv5rfFobtMaDIdxnlGZBnNTlIxwTUqjTeQ4CvxE-_LZ6A8qkxBG1QrXMwr5JZWxPDgFh/s1600/sol.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPsPoBY3lZXfI16He7Vs2QSkbikkTdmy5qnWF0uvwPGZVIE-6JfjK-2VdgevN7ISUSUX5Vz1_0ODytuk5y97bXDT29i6Z05tM_2XHXg5FS8_1z0WrbeB_CoxFtCuKG6hsg65cFcM5z5vNo/s1600/e.jpg)
f)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDRStwFRL2caFIhsSnY_SZZlVi7MaMZ3uYie1PiX8b5vOyNEqIDMx08OniaU79MZfcvxOBb0L0GWlMpPw8NAHY58D43cT_Vc1SQZXBsdGksc-YsJlzHH9bnZjL0uyjGXsk6wn2jhyphenhyphengkXVL/s1600/f.jpg)
Solução:
Considerando que x² + 4 será sempre positivo, independente do valor de x, esse termo não influencia no estudo do sinal . Assim estudaremos somente o sinal de x²-4, que determinará portanto o sinal da equação.
Veja o estudo do sinal de x²-4 em a).
Graficamente ( a > 0 ):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPw4T9HJIsbIbty0xDmR11OLzS8B9HXYW-sgxD4ZXyWyofdraFie7qQz-jV7gnCQw0YMRf7hZPzhXZ7ZT0A5In6blxwXkKKv2bmoexHiUvUXcA5AnbCGdHQkaN2CFSPADx75UGwoc6AKzm/s1600/a.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDRStwFRL2caFIhsSnY_SZZlVi7MaMZ3uYie1PiX8b5vOyNEqIDMx08OniaU79MZfcvxOBb0L0GWlMpPw8NAHY58D43cT_Vc1SQZXBsdGksc-YsJlzHH9bnZjL0uyjGXsk6wn2jhyphenhyphengkXVL/s1600/f.jpg)
g) ( 2x - 1 )(x²- 4) ≤0
Solução:
Estudando o sinal de ( 2x - 1 )(x²- 4):
1. Estudo do sinal de 2x-1:
-Encontrar as raíz da equação:
2x-1= 0
2x= 1
x= 1/2
A raiz de 2x-1 é 1/2.
- Graficamente :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbnmxMzGywLYXW8WGOjbGQ9r9uLUNOru5EJMScB0QPHUTrupIYJlaZPsMXJN7ZMuy2kIYvbyNG-DHatW24R6XpTFIM8TrV41Od5RKq2jK1mOej-W9zqYNiwbrTfdmLM-Mz0YeGaYuGJDkj/s1600/2x-1.jpg)
2. Veja o estudo do sinal de x²-4 em a):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEilhmCmv5kP9OAFamaiaCPBYWK1F-O5ENTr0CGzxX78r_3sGNqjLq1NX91lyOyACXKF8YwWjF121gaiC61OUMEbxUIXvDN00fqHxbLUjjgZbSI89wQdb1PjmWwvI4aYrhtVKVjzo9Vp-TlF/s1600/x-4.jpg)
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglAfyyduvxkkTVFUkjN6GUjsZppfN-JmCITFLRgpBWlJbQWxujvMYTvPiMwV-bpC6yTqodGi3XK8QgsxvP78dEk0qp4qFRNNo6ADKONVCmnNrhHOgV8bWXKMuf1_zhyphenhyphenp1HvDPCZb8zDfAy/s1600/g.jpg)
Logo,( 2x - 1 )(x²- 4) ≤ 0 para x ≤ -2 ou 1/2≤ x ≤2.
h) 3x² ≥ 48
Solução:
Sabemos que 3x² ≥ 48 ⇔ 3x² - 48 ≥ 0, portanto estudaremos o sinal de 3x²-48. 1.
Estudo do sinal de 3x²-48:
- Encontrar as raízes x1 e x2 da equação:
3x² - 48 = 0
3x² = 48
x² = 48/3
x² = 16
x = ± √16
x = ± 4
Assim, x1= -4 e x2= 4.
- Graficamente ( a > 0 ):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjIdYQ-SxhhcLFSgJ61NAtRF7XVdwc6fuUnsCM6WXi20RQdS1P03Tp1zAFG8BBPZgH2T52ZaVs15NvkagakjAl3u-dakUZ5Uc7ScCQLhV4tq7v9EZeZu7gEPkKrdDVTX8VAs25kurY3d40n/s1600/h.jpg)
Logo, 3x² ≥ 48 ⇔ 3x² - 48 ≥ 0 para x ≤ -4 ou x ≥ 4 .
i) x² < r² , onde r > 0 é um real dado.
Solução:
Sabemos que x² < r² ⇔ x² - r² < 0, portanto estudaremos o sinal de x² - r².
1. Estudo do sinal de x² - r²:
- Encontrar as raízes x1 e x2 da equação:
x² - r² = 0
x² = r²
x = ± √r²
x = ± r
Assim, x1= -r e x2= r.
- Graficamente ( a > 0 ):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhhD8IfqA4DW30bkug4hsBih2z9qHmFjsLGodA4krU0QfPhOWVy8QCCCTuPDPeLEbUC2V2nMxUt24SWIwKSYV7zF4TPVEm2bn0IBfNFP5b6MOCFpMV6hWI_TuK04d9PQdlEYW5lmZ3gAcaE/s1600/i.jpg)
Logo, x² < r² ⇔ x² - r² < 0 para -r < x < r.
j) x² r² , onde r > 0 é um real dado.
Solução:
Sabemos que x² ≥ r² ⇔ x² - r² ≥ 0, portanto estudaremos o sinal de x² - r².
Veja o estudo do sinal de x² - r² em i).
Logo,x² ≥ r² ⇔ x² - r² ≥ 0 para x ≤ -r ou x ≥ 0 .
8. Considere o polinômio do 2° grau ax² + bx + c, onde a ≠ 0, b e c são reais dados.
a) Verifique que
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhe2r7oHZ-dzwzhTETZxDRIG8U1fAUjb0_9dXVa3WNpgYhaYQsFJSDx4e1w5FrNkX6ZQHAtCG7fEl86h4MLPG27cwgCLuEqKcfZuWukOWiIQKb9K5r4Y6GmWuZsnPjfoA2JvQ_jYu8loTkI/s1600/a.jpg)
Solução:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjV0CNFMyAqP_Y3Ze5y7fAHtABqFnPgLuKoF5cLOWTAdryg5yOGNWJY6LpxJmEC7u5JJHPOBXAmQQLV6UdTvqRvYNIiBiNu57GwJ01nL3MYgo14Cvpn6PeIPvsItHWx1C60uBYdgI9Z2D4p/s1600/a.jpg)
b) Conclua de (a) que , se Δ ≥ 0, as raízes de ax² + bx + c são dadas pela fórmula
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjEpQCBHWeGXriKjBNil_zxRhVprybvOOCRFIOAQss08j78NCXBV9rEkuAXFbOqabaNX3v-by0syItM0zMtN6JyFPMMKGIdQxcbHKr9kvyE3xVLysbQqZMbxYzeVWUIacaEXXxo2fdd3NDu/s1600/b.jpg)
Solução:
Dada a equivalência de a), temos:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEipDRccNxJJMnRtumP5_eWlWBGZsMFt4RZET3qz0360sceA-harKi90mXTt1xEcSZuTefdRR_SSJ5N1xNx5N0wDE7fa9ToKidXknabWvk0Va-d7UnTxBHLFqBixJbeQbPmh8x1n64WfVHt2/s1600/b.jpg)
c) Sejam
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4BjQd0__PODg5Li4-m7TXV4gTJd9KPohgcEOPeWC3T00uziynK8dBz5v4ug-m8Psvp2xVFUgVhPbQF85XbVbNOU7_fEnxJZ2wb-7EKxi1f_LTzKRk3Udv5AioJisqeJPsGzzohkMEaLwq/s1600/c_x1.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0-d5jdfNewoGjp48nxOtpf5fEnkILJL2TEI_zn3b6gxLkfY4JilV6jZKH5EPIQOKCu_nij-n9n6E9niffpNfwiqNXYa9u2jEyh1D_Qqllb03C5w5YagislnjSEErOyGDwHZgz_mei1wHE/s1600/c_x2.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZQsL59TcxAgw3Xio6RGhjP2QnOMvsX1_RBS-vd8mHM3nXwFI30lCqOwLdfkX4d2gvFwjAjByT4kkq2FV8JOhW8u0FN13gB9kRxZbj6tqDmQ48jTFXr0kk9h3eszXkmAjBMPbVWpFX-0tQ/s1600/c_x1%252Bx2.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdBk_A3r6egWFw4QPj2dPT-HpqzCWCkJGLqVhNQn3H9dONJIbrxB6py_zLi6IHhV3gtuMOq9Qvjz1g46xEaBzyq_EMlf9vDg_O6SHD-O2BSZLtasBf3q2WrUfhlQTaAmzzxglVRGAFjlkI/s1600/c_x1x2.jpg)
Solução:
-Substituindo x1 e x2 em x1 + x2, temos:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrhKHOrTBwMUtop3FrJCe4meDLquG5XzLfXBP83MBalbmjyO1rxluPny8KtCqti_sgm6KFd8JP20nN85Pj4h6eK8rg7s6v6KR-zxlyih0RTNo20PiWTRTxjud1gB14xPjug5LI_5MR2wSh/s1600/c1.jpg)
-Substituindo x1 e x2 em x1 x2, temos:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZZzX-xBNlWvDrPuUc0UxVS070tNOHOKSEkaQi2c-mtdUMSg35H8kUhACuYi6LSSvmwQwBZpI7B_Nebl69vQwXREBvsv-AEQmn8svadaXMy_AHEk2JABFbMCzg07TNwBFk_YpT9XRnSSq6/s1600/c2.jpg)
9. Considere o polinômio do 2° grau ax² + bx + c e sejam x1 e x2 como no item (c) do Exercicio. Verifique que
ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2) |
Solução:
ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
ax² + bx + c = a(x² -x2x -x1x + x1x2)
ax² + bx + c = a( x² -x( x2 + x1 )+ x1x2 )
Como vimos no item (c) do exercício anterior
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZQsL59TcxAgw3Xio6RGhjP2QnOMvsX1_RBS-vd8mHM3nXwFI30lCqOwLdfkX4d2gvFwjAjByT4kkq2FV8JOhW8u0FN13gB9kRxZbj6tqDmQ48jTFXr0kk9h3eszXkmAjBMPbVWpFX-0tQ/s1600/c_x1%252Bx2.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdBk_A3r6egWFw4QPj2dPT-HpqzCWCkJGLqVhNQn3H9dONJIbrxB6py_zLi6IHhV3gtuMOq9Qvjz1g46xEaBzyq_EMlf9vDg_O6SHD-O2BSZLtasBf3q2WrUfhlQTaAmzzxglVRGAFjlkI/s1600/c_x1x2.jpg)
Substituindo:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXy5nXNpGODeh9IwYEje0eQOh0thVnddJZKK78rkGomFAvO8O2WEqnl-MELdeQ0HB4y7dszv1pQYAIHWv-u-GIFrZpXS1MxO2WCoROLHy1gv04Go6Tbb0ERK_VWLgU_LiXxPvP5cTt5LVs/s1600/9.jpg)
10. Utilizando o Exercício 9, fatore o polinômio do 2° grau dado.
Dica:
- Fatorando polinômios do tipo: ax² + bx + c:
- Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4BjQd0__PODg5Li4-m7TXV4gTJd9KPohgcEOPeWC3T00uziynK8dBz5v4ug-m8Psvp2xVFUgVhPbQF85XbVbNOU7_fEnxJZ2wb-7EKxi1f_LTzKRk3Udv5AioJisqeJPsGzzohkMEaLwq/s1600/c_x1.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0-d5jdfNewoGjp48nxOtpf5fEnkILJL2TEI_zn3b6gxLkfY4JilV6jZKH5EPIQOKCu_nij-n9n6E9niffpNfwiqNXYa9u2jEyh1D_Qqllb03C5w5YagislnjSEErOyGDwHZgz_mei1wHE/s1600/c_x2.jpg)
- Fatorando polinômios do tipo: ax² + bx :
- Fatorando polinômios do tipo : ax² - c:
- Aplicando a regra dos produtos notáveis:
Para um estudo mais detalhado acesse : Fatoração de Polinômios.
a) x² - 3x +2
Solução:
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = (-3)² - 4.1.2 Δ = 9 - 8 Δ = 1 | ![]() ![]() |
b) x² - x - 2
Solução:
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = (-1)² - 4.1.(-2) Δ = 1 + 8 Δ = 9 | ![]() ![]() |
c) x² - 2x + 1
Solução:
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = (-2)² - 4.1.(1) Δ = 4-4 Δ = 0 | Se Δ = 0 , temos x1 = x2 = ![]() |
![]() |
d) x² - 6x + 9
Solução:
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = (-6)² - 4.1.9 Δ = 36-36 Δ = 0 | Se Δ = 0 , temos x1 = x2 = ![]() ![]() |
e) 2x² - 3x
Solução:
Colocando x em evidência, temos 2x² - 3x = x (2x -3)
f) 2x² - 3x + 1
Solução:
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = (-3)² - 4.2.1 Δ = 9 - 8 Δ = 1 | ![]() ![]() |
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiP8gqgiVl3YcyPiCAhwM0eMxYatW1wDSwN40sLYxBc2yyXCdZediPh6zQyufuk1X4fETTwp20d7Zk8UxRO-7bkXnQ5YjTJOrHXPkf5XU1RIqWrH_mky1J0DnJE7yC_YdBvZdIMRgMA3W47/s1600/sol.jpg)
g) x² - 25
Solução:
Aplicando a regra dos produtos notáveis:
x² - 25 = (√x² + √25 )(√x² - √25) = (x + 5)(x - 5)
h) 3x² + x - 2
Solução:
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = 1² - 4.3.(-2) Δ = 1 + 24 Δ = 25 | ![]() ![]() |
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQ2EZV18bp0za4fXHtTC_hFoKZijgju9DrYrSaIksqV_6UfLgBwP7jOUBVD1GyzX533lAMx3JiWs1WpoRKImyS_gw-cvTt7Mb_hWov8R73vG4w3le-78Z6Om__ZM1dF6TjLqsfHxBRODoP/s1600/sol.jpg)
i) 4x² - 9
Solução:
Aplicando a regra dos produtos notáveis:
4x² - 9 = (2x)² - 3² = (2x - 3)(2x + 3).
j) 2x² - 5x
Solução:
Colocando x em evidência, temos 2x² - 5x = x (2x -5)
11. Resolva a inequação.
Dica: 1. Estudo do sinal de equações do 2° grau :
- 1° forma:
-Encontrar as raízes x1 e x2 da equação:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4BjQd0__PODg5Li4-m7TXV4gTJd9KPohgcEOPeWC3T00uziynK8dBz5v4ug-m8Psvp2xVFUgVhPbQF85XbVbNOU7_fEnxJZ2wb-7EKxi1f_LTzKRk3Udv5AioJisqeJPsGzzohkMEaLwq/s1600/c_x1.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0-d5jdfNewoGjp48nxOtpf5fEnkILJL2TEI_zn3b6gxLkfY4JilV6jZKH5EPIQOKCu_nij-n9n6E9niffpNfwiqNXYa9u2jEyh1D_Qqllb03C5w5YagislnjSEErOyGDwHZgz_mei1wHE/s1600/c_x2.jpg)
-Graficamente:
Se a >0:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAF5HQt2fVCfY3p_aTLq8LQx-tOl4f_v06H73BFBMtbzbNQsWq3A_xFDZhu7IlBhGIp31rczDlrv6qXGFJSNQqCXWo1FTkwXXw290gJWUaOr__KK-aCxCMOBRYlz40NIgRLOBzEikhuJSn/s1600/dica1.jpg)
Se a < 0:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2un7Ad87K5OcLwaCJm4inxD3wS6fSvFo8OG3yKaBnpSrqIwO7nYt3T7FnBQXdCRVMFYGZJdT05qUdhTKeqJTVmY7sSe0VvrZj0SrzQmhVU50WjYyETVQk6fvzpSBDSXqFHzR0Zfaq1oTN/s1600/dica2.jpg)
- 2° forma
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4BjQd0__PODg5Li4-m7TXV4gTJd9KPohgcEOPeWC3T00uziynK8dBz5v4ug-m8Psvp2xVFUgVhPbQF85XbVbNOU7_fEnxJZ2wb-7EKxi1f_LTzKRk3Udv5AioJisqeJPsGzzohkMEaLwq/s1600/c_x1.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj0-d5jdfNewoGjp48nxOtpf5fEnkILJL2TEI_zn3b6gxLkfY4JilV6jZKH5EPIQOKCu_nij-n9n6E9niffpNfwiqNXYa9u2jEyh1D_Qqllb03C5w5YagislnjSEErOyGDwHZgz_mei1wHE/s1600/c_x2.jpg)
-Fatorar o polinômio: ax² + bx + c = a(x-x1)(x-x2)
-Fazer o estudo do sinal das expressões de 1° grau que compõem o produto a(x-x1)(x-x2).
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEirAInp9FVKKYVlh7t4hpIJDQt1RlX_TMg-sbxV-8wzTpFRiThT7fll9l3zLka0_1m-9Zsmdd-toA8DGW5c-NGv8ZaVrMLau8lmiV6DsuF49iVASbxUheEuYpXOtyGXtw3n0qwY8E48daY0/s320/genericamente.jpg)
a) x² - 3x + 2 < 0
Solução:
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = (-3)² - 4.1.2 Δ = 9 - 8 Δ = 1 | ![]() ![]() |
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgNhP0tYhjSm75PGFnCJa4Bb6FPGrPs_pztuaMy3PLCh8wjHr-uVYgg_oUiysCoNCKlZt2tT0LQC0EWlNsgXyXvcEreHIesQw1kmkhF_oXqIjDnYm5sdlPFVvqHF3Nf4DWaQonCux6sIQAu/s1600/grafico.jpg)
Logo x² - 3x + 2 < 0 , para 1 < x < 2 .
b) x² - 5x + 6 ≥ 0
Solução:
-Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = (-5)² - 4.1.6 Δ = 25 - 24 Δ = 1 | ![]() ![]() |
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgO3z-4ZY575HfZAAsV_jayX1E2kqt1HeNrq1vby7piJ7jgmPgm1feP7yjj0IaPvhWbk5XKvf8mY0KXD7Qv1kEO-yu3DndAzyqsGfRal9FzQLlzfd5aw96nSgZYS5fcHFCRXbHyvvJ4FlXG/s1600/grafico.jpg)
Logo x² - 5x + 6 ≥ 0 , para x ≤ 2 ou x ≥ 3.
c) x² - 3x > 0
Solução:
-Fatorando o polinômio:
x² - 3x = x (x - 3)
-Estudo do sinal de x (x - 3)
Encontrar a raiz de x - 3:
x-3 = 0
x = 3
-Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXexWoWPf7o5F_ek2ECf9_SS0Lo2EBJQYPAxgWm0JyhxkqzHPO4t2DukYh49BopFUxKizQ3Zdeo7Kb9nWMHmYm4xUaHzRt-BFtWzk8lOMYq6wfhrJVE0uwBNpD_WhHeBmdvvSgpNioD6KY/s1600/grafico.jpg)
Logo x² - 3x > 0 , para x < 0 ou x > 3.
d) x² - 9 < 0
Solução:
Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
x² - 9 = 0
x² = 9
x = ± √9
x = ± 3
Assim, x1= -3 e x2= 3.
Graficamente (a > 0)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgFKX8PFyeFgchlw60oJxZuWGO6WXGQkXDYyIdY2tpJ7We-UaIItue_aYLkdfGPKxzIJ9BYTrWNCUUvecJAwC6uL-K4LXHQZl7JtvnV5K0Q0B4Z2rAru32OTYRvDJZc2Bqi0VoyJaCrM6iL/s1600/grafico.jpg)
Logo x² - 9 < 0 , para -3 < x < 3.
e) x² - x - 2 ≥ 0
Solução:
Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = (-1)² - 4.1.(-2) Δ = 1 + 8 Δ = 9 | ![]() ![]() |
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXKv2RZ72ZHMcCPmtmHTm1-mJS8PxCJ8HuCZVcma_ICuihWizxaLmvyuPmhVoShYIuTcTicHWhW4MF7Ls-dNVGWu3hPkCCAKllmCWyiFfuwikfQwirZwQrv2sjumPM274uiKdSiIUNAJe6/s1600/grafico.jpg)
Logo x² - x - 2 ≥ 0, para x ≤ -1 ou x ≥ 2.
f) 3x² + x - 2 > 0
Solução:
Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = 1² - 4.3.(-2) Δ = 1 + 24 Δ = 25 | ![]() ![]() |
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEglPKUANmNoIyL2RYKAS-NNVXRWHT7TDLSsUptzldbMLciS8Yh9KGl55lnhEq8PKbU2mUqixpEgdev0KHIkM9iu18c3MoTrhrLX-BIQuVdR-finKTyrSs-wM7ksjVimPT4j16j2VeQ4ZJ8X/s1600/grafico.jpg)
Logo 3x² + x - 2 > 0, para x < -1 ou x > 2/3.
g) x² - 4x + 4 > 0
Solução:
Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = (-4)² - 4.1.4 Δ = 16 -16 Δ = 0 | Se Δ = 0 , temos x1 = x2 = ![]() |
![]() |
Portanto , x² - 4x + 4 = ( x - 2)².
Considerando que ( x - 2)² será sempre positivo, independente do x, logo x² - 4x + 4 > 0, para todo x ≠2, pois (2 - 2)² = 0.
h) 3x² - x ≤ 0
Solução:
Fatorando o polinômio:
3x² - x = x (3x - 1)
Estudo do sinal de x (3x - 1)
- Encontrar a raiz de 3x - 1:
3x-1 = 0
3x=1
x=1/3
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiM29g-prUDNOlwY1e5gp9JOj-4ydhvlc-U_Xd7kbe26yYXNcY5Yim3hWL0F5mOHNUunM_8JhyphenhyphenMQqDAL5NoJvOWb9g0urCE-F1cLnq5FYy8ZI0FuWufvL6gDX1IZqvbxjLr0gPjexe-oTvO/s1600/h.jpg)
Logo 3x² - x ≤ 0 , para 0 ≤ x ≤ 1/3.
i) 4x² - 4x + 1 < 0
Solução:
Encontrando as raízes x1 e x2 da equação:
Δ = (-4)² - 4.4.1 Δ = 16 -16 Δ = 0 | Se Δ = 0 , temos x1 = x2 = ![]() ![]() |
Portanto , 4x² - 4x + 1 =
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjJL2xGr2H1YzCxIxowOJ4nr34-UTqf1qfJU4ccUANPzgTpWNHlfadJSjBfiaS9563xx0N-R3FKVlE5ZL4ssAx-OtZJH6OheufvtcOkROUbEEORbGdrBRkvRVLE9mGvDZiquiRqtGOjwFO/s1600/sol.jpg)
Considerando que
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjJL2xGr2H1YzCxIxowOJ4nr34-UTqf1qfJU4ccUANPzgTpWNHlfadJSjBfiaS9563xx0N-R3FKVlE5ZL4ssAx-OtZJH6OheufvtcOkROUbEEORbGdrBRkvRVLE9mGvDZiquiRqtGOjwFO/s1600/sol.jpg)
j) 4x² - 4x + 1 ≤ 0
Solução:
Vimos no item ( i ) que :
4x² - 4x + 1 =
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjJL2xGr2H1YzCxIxowOJ4nr34-UTqf1qfJU4ccUANPzgTpWNHlfadJSjBfiaS9563xx0N-R3FKVlE5ZL4ssAx-OtZJH6OheufvtcOkROUbEEORbGdrBRkvRVLE9mGvDZiquiRqtGOjwFO/s1600/sol.jpg)
Considerando que
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhjJL2xGr2H1YzCxIxowOJ4nr34-UTqf1qfJU4ccUANPzgTpWNHlfadJSjBfiaS9563xx0N-R3FKVlE5ZL4ssAx-OtZJH6OheufvtcOkROUbEEORbGdrBRkvRVLE9mGvDZiquiRqtGOjwFO/s1600/sol.jpg)
12. Considere o polinômio do 2° grau ax² + bx + c e suponha que Δ < 0 . Utilizando o item (a) do Exercício 8, prove:
a) se a > 0, então ax² + bx + c > 0 para todo x. b) se a < 0, então ax² + bx + c < 0 para todo x.
Solução:
No item (a) do Exercício 8, vimos que:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_7pmCZj-DsxbeYkKSeLAyFn_cIbac2zfZ0pVDfaG4axr0Hp_recOWHmFuVWwPy_ZCJVKngLaKLW4wx-XF6jEyeRN-1Zf2kN76-hDibtkjQbyM80GZY-CXeQnQADnz7XuqkhE3Ba4OTKiD/s1600/a.jpg)
Supondo Δ < 0 , a igualdade fica da seguinte maneira:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOsNK3E8wglVYdBdt6ci3LBggosWKh1R5t9h4NtZS-gXguN57e_IJiPukTeEU3ZD42mkWEHnIL3PIiWRO4mB2ck5M-9YYSGlS3zx3Et_p554-YwKu3R99dXoVWwHu_1j7ZBvkrjW8_Zzum/s1600/novaigualdade.jpg)
Fazendo
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9ijHmX_En3QIwLq9fPSvUkR2W1dGofKtfC-YX-tcdNkokhPsoKM42qbM5LyLG-foHG8dKpnRCsMfd6Ex6rmuA_kKIQFzz4pqJfC4JkvhRoo56jnz10eLGTIrBInCjHzPtoSu2cuqbTo_c/s1600/d.jpg)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi4M5uDsHNrQojzMs8WnYTdIW20CtHG_bi0cLQlA_UIPtS4fpVGoKBS-E5JfYdniV_Nu7_W_fIv5iqD3keHj5R36kYwPWWWAFn2EFpJc98fI6s3ARVcOJ1eYNV2ne-_vMtlPgmErp82H0e6/s1600/e.jpg)
ax² + bx + c = a [ (x + d)² + e ]
Observe que (x + d)² + e será sempre positivo, portanto não influencia no sinal da equação, portanto , a determina o sinal da equação, assim:
- se a < 0 , a [ (x + d)² + e ] < 0 , portanto ax² + bx + c < 0.
- se a > 0, a [ (x + d)² + e ] > 0 , portanto ax² + bx + c > 0.
13. Resolva a inequação.
a) x² + 3 > 0
Solução:
Temos que: Δ = 0² - 4.1.3 = -12 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 3 > 0 para todo x.
b) x² + x + 1> 0
Solução:
Temos que: Δ = 1² - 4.1.1 = -4 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + x + 1> 0 para todo x.
c) x² + x + 1 ≤ 0
Solução:
Temos que: Δ = 1² - 4.1.1 = -3 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + x + 1 ≤ 0 não adimite solução, pois x² + x + 1> 0 para todo x.
d) x² + 5 ≤ 0
Solução:
Temos que: Δ = 0² - 4.1.5 = -20 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 5 ≤ 0 não adimite solução, pois x² + 5> 0 para todo x.
e) (x - 3)(x² + 5) > 0
Solução:
Estudando o sinal de (x - 3)(x² + 5):
1.Estudo do sinal de x - 3:
- Encontrando a raiz de x - 3:
x - 3= 0
x = 3
A raiz de x - 3 é 3.
2. Estudo do sinal de x² + 5:
Temos que: Δ = 0² - 4.1.5 = -20 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 5> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por x - 3 , pois x² + 5 não influencia no estudo do sinal
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTlm2exNZL1E68CmKLlRgUCLrmZ7nxo85OdxTmZcPkrumAxzeANBgkRPkbwdDHRQRvMfh2WGLnZdGY117_JB9yMVuyTPYNjSPkgk1oECLqfBHoyj3R-Gf_X5tjPCIimEr0LbxjxXeJYf9t/s1600/grafico.jpg)
Logo,(x - 3)(x² + 5) > 0 para x > 3
f) (2x + 1)(x² + x + 1) ≤ 0
Solução:
Estudando o sinal de (2x + 1)(x² + x + 1):
1.Estudo do sinal de 2x + 1:
- Encontrando a raiz de 2x + 1:
2x + 1= 0
2x = -1
x = -1/2
A raiz de 2x + 1 é -1/2.
2. Estudo do sinal de x² + x + 1:
Temos que: Δ = 1² - 4.1.1 = -3 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + x + 1> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por 2x + 1 , pois x² + x + 1 não influencia no estudo do sinal
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhY1_4Cre6QwGIhM6YceiOsElV8CI0JSQeVxp3wEoG00JpV_lm7lgSmZU15_3-T47E9L-6DMyo4HYib6ZRBKUzxV5BYfomGfiEvRIAfiJTnz6maDOjshCBlWSst3X4D6BnKPbbS2xnWvn0_/s1600/grafico.jpg)
Logo, (2x + 1)(x² + x + 1) ≤ 0, para x ≤-1/2
g) x(x² + 1 ) ≥ 0
Solução:
Estudando o sinal de x(x² + 1 ):
1.Estudo do sinal de x² + 1:
Temos que: Δ = 0² - 4.1.1 = -4 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 1> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por x , pois x² + 1 não influencia no estudo do sinal
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLWHy7N-VEKIEIi2okn7quDk7sMoMYPqMp7iPpCDx3ywkJnMR5MZMqGgWsiEQ2HO3rOp46vOFXq4iZYcT60F2vf7UPWVCusR1iyiwGaNd7UvmTBlVglFXvWHZkASQDaaG6-O8-NbSDZFhV/s1600/g.jpg)
Logo, x(x² + 1 ) ≥ 0, para x ≥ 0.
h) ( 1 - x)(x² + 2x + 2) < 0
Solução:
Estudando o sinal de ( 1 - x)(x² + 2x + 2):
1.Estudo do sinal de 1 - x:
- Encontrando a raiz de 1 - x:
1 - x= 0
-x = -1
x = 1
A raiz de 1 - x é 1.
2. Estudo do sinal de x² + 2x + 2:
Temos que: Δ = 2² - 4.1.2 = 4-8=-4 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior ,x² + 2x + 2> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por 1 - x , pois x² + 2x + 2 não influencia no estudo do sinal
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiDjjmD4val_esqlnIm2GjPDvKDk9zbeg2tPRWOexAaciv1ZGuXZMv5LG9GDzlro7tXe9DYHoa6UoktSBZfUxqIzqYUDOPGK6jPqwc6K12iJmtJked3eMgHXW0KkcciVBOYS4tLI_vJoRG4/s1600/grafico.jpg)
Logo, ( 1 - x)(x² + 2x + 2) < 0, para x > 1.
i)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpX5iWn82OTy_J7ZZioEgcDqysuChmrCbuljO-kzzFYeSTWEx50DA6V5ii9I6EgpTS3SY8wuFByvHmR5xZydgQ0friQeySo4MUEF3ryLQAsFYwvwCkQytTpDqMwwXJsbpXdDcCboRZnXNP/s1600/i.jpg)
Solução:
Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpX5iWn82OTy_J7ZZioEgcDqysuChmrCbuljO-kzzFYeSTWEx50DA6V5ii9I6EgpTS3SY8wuFByvHmR5xZydgQ0friQeySo4MUEF3ryLQAsFYwvwCkQytTpDqMwwXJsbpXdDcCboRZnXNP/s1600/i.jpg)
1.Estudo do sinal de 2x-3:
- Encontrando a raiz de 2x-3:
2x-3= 0
2x = 3
x = 3/2
A raiz de 2x-3 é 3/2.
2.Estudo do sinal de x² + 1:
Temos que: Δ = 0² - 4.1.1 = -4 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + 1> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por 2x-3 , pois x² + 1 não influencia no estudo do sinal.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8gGmAti9B9jKLpWYWlsZysSS3PhUjV7T-dlT_l8chyK3vAtn6eZFQSs7TmNe3xd6VxeNJPjdjr2FuoPDKQjk73rQ93-dCpwJzTovjiRBjiakSxun2XmLVpeZcNePyZR66FIezGNQR8s6i/s1600/grafico.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhpX5iWn82OTy_J7ZZioEgcDqysuChmrCbuljO-kzzFYeSTWEx50DA6V5ii9I6EgpTS3SY8wuFByvHmR5xZydgQ0friQeySo4MUEF3ryLQAsFYwvwCkQytTpDqMwwXJsbpXdDcCboRZnXNP/s1600/i.jpg)
j)
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQiB4uXFZ4_BERJIa17CNmdwkpkPgCnH9zbeWeNgdhrGdTqIizH4N-wgY_FnAOsKcGiGbn5_mutGarCVbaus5WsZDGnCgmfMbofNjD58MbYkkrXfwjLovmuh-_NunbvW5NIEezA6BVZ270/s1600/j.jpg)
Solução: Estudando o sinal de
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQiB4uXFZ4_BERJIa17CNmdwkpkPgCnH9zbeWeNgdhrGdTqIizH4N-wgY_FnAOsKcGiGbn5_mutGarCVbaus5WsZDGnCgmfMbofNjD58MbYkkrXfwjLovmuh-_NunbvW5NIEezA6BVZ270/s1600/j.jpg)
1.Estudo do sinal de x² + x + 1:
Temos que: Δ = 1² - 4.1.1 = 1-4 = -3 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício anterior , x² + x + 1> 0 para todo x. Assim o estudo do sinal é determinado por x , pois x² + x + 1 não influencia no estudo do sinal.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPyvmTBPgQFbe71pdDlEtiGCcX6KSiYMU_ECppXCf1SYoRN8t9XvfVhp8BFLGlIzvGBfth6TV7GAjeSPHHlVHw_C9WNY4Z1hiz0g2caC2xSg9MSPbOIR6_ITvy84d-kGt0HdNAFrvnNIGz/s1600/grafico.jpg)
Logo,
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQiB4uXFZ4_BERJIa17CNmdwkpkPgCnH9zbeWeNgdhrGdTqIizH4N-wgY_FnAOsKcGiGbn5_mutGarCVbaus5WsZDGnCgmfMbofNjD58MbYkkrXfwjLovmuh-_NunbvW5NIEezA6BVZ270/s1600/j.jpg)
14. Prove :
![]() | ⇔ 5x + 3 ≥ 5 (x² + 1) |
Solução:
A equivalência só é verdadeira no intervalo em que x² + 1 > 0, pois quando multiplicamos os termos de uma inequação por um número negativo o sentido do sinal de desigualdade se inverte, o que tornaria a equivalência falsa.
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj1BNFwohTSqfswelSBVCWqjTddGwg7BnBOxChVvwucQ0LGeIh5N4dDw9ietkt2pYvDvyuqZjJrE-_EAD9FCaw-Ol6Obtnoc_sxznUibw0P0joUNi8YXr8umAfI6aNEftCssx5iRLckO26j/s1600/14+.jpg)
Portanto, iremos fazer um estudo do sinal para descobrir o intervalo em que x² + 1 > 0.
1.Estudo do sinal de x² + 1:
Temos que: Δ = 0² - 4.1.1 = -4 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto de acordo com o exercício 12 , x² + 1> 0 para todo x. Logo, a sentença é válida para todo x.
15. A afirmação: "para todo x real , x ≠2
![]() | ⇔ x² + x + 1 > 3 (x - 2) |
Solução:
A equivalência só é verdadeira no intervalo em que x-2 > 0, pois quando multiplicamos os termos de uma inequação por um número negativo o sentido do sinal de desigualdade se inverte, o que tornaria a equivalência falsa. Observe:
- Se x - 2 > 0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhMq92Z69JKKgDi4oe-ETpz4LTwlTnzyhOXUz_eYHVLnJXOcCBSunBO4-LjdCoqwjujdmm4EC1VnXI0cmI29d9b2Zufrz0z3OnVadTUp9oj4CE51SZdZtC89FZAFTR642GVcpTpBbp8tc3Y/s1600/15a.jpg)
-Se x - 2 > 0
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh5zuDz7qVO2hGk9YIEj8VGWQrduZLfascfdlffcDY_66IY00kVfXbq6fetf83Jgb_MBgc040CtLmEmw7LGb6kDbbUnofz2dqCZXXTtCyD3end5ImbSrvB9M9GqzI9M9lshF8LlEFE6tZcm/s1600/15b.jpg)
Portanto, iremos fazer um estudo do sinal para descobrir o intervalo em que x-2 > 0.
- Encontrar a raiz de x-2:
x-2 =0
x=2
- Graficamente :
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwjWOqb0PS25tTLf31UTStBLXS3S1YtPVucOhSxjc5w1ubHD1249pVx7Tt1GtlCQ_qc0kKPfdpPaFiGl2L0D1JIYKpV26aDbPX24_c8BioF1S_BnwIV9qa7pQt0CPvZvGoVYH_1cJK_nly/s1600/grafico.jpg)
Portanto a equivalência só é verdadeira no intervalo em que x > 2 , logo a afirmação é falsa.
16. Suponha que P(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an seja um polinômio de grau n, com coeficiente inteiros, isto é, a0 ≠ 0, a1, a2, ... , an são números inteiros. Seja α um número inteiro. Prove que se α for raiz de P(x), então α será um divisor do termo independente an.
Solução:
Se α é raiz do polinômio, logo P(α) = 0. Assim :
a0αn + a1αn-1 + ... + an-1α + an= 0
an=- a0αn - a1αn-1 - ... - an-1α
an= α (- a0αn-1 - a1αn-2 - ... - an-1)
a n/ α = - a0αn-1 - a1αn-2 - ... - an-1
Fazendo k = - a0αn-1 - a1αn-2 - ... - an-1 , um inteiro. Temos :a n/ α = k
Logo, α é um divisor do termo independente an.
17. Utilizando o Exercício 16, determine, caso existam as raízes inteiras da equação.
Dica: Vimos no Exercicio 16 que a raiz do polinômio é um divisor do termo independente, portanto, faça teste com todas os divisores do termo independente.
a) x³ + 2x² + x - 4 = 0
Solução:
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2,4,-4.
- Testando:
P(1) = 1³ + 2.1 + 1 - 4 = 1 + 2 + 1 - 4 = 0 , portanto 1 é raíz da equação.
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para isso divida o polinômio por (x-1):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7V8TSIs4R7yH5cp9NGjHTzp49zVdfprP3Gg9IWFQUqeslWO6h8xtbK_lqdv9jOu-spED4VH8Nw9qs1aELLPWHAN1bZOLVFFP5bs8v51B_yji1m97D4v6YEQOiV7a5gXoJY5DdA-j16NGf/s1600/divisao.jpg)
Portanto, x³ + 2x² + x - 4 = (x - 1)(x²+3x+4)
-Encontrar as raízes de x²+3x+4:
Δ = 3² - 4.1.4 =9-16=-7 < 0
Logo, x²+3x+4 não possui raízes inteiras. Portanto o polinômio x³ + 2x² + x - 4 só possui uma raiz inteira: 1
b) x³ - x² + x + 14 = 0
Solução:
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2,7,-7,14,-14.
- Testando:
P(1) = 1³ -1² + 1+14=1-1+1+14 = 15
P(-1) = (-1)³ -(-1)²-1+14 = -1 - 1 -1 +14 = 11
P(2) = 2³ - 2² + 2 + 14 = 8 - 4 + 2 + 14 = 20
P(-2) = (-2)³ - (-2)² - 2 + 14 = -8 - 4 -2 +14 = 0 , portanto -2 é raiz da equação.
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para isso divida o polinômio por (x+2):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvACKG_oQKGwuiwV5uPXQlyUPEaT54l9Xb2itnxKJtSzkWlR7Liyj0W9-Ut_2fi5gwUFk8y-nUostaVOcv0r2hoCuMyDaUmCGDl7csxUsgof8nRZKkvAns74ajRD42dcUMaVOTncMEBOa7/s1600/b.jpg)
Portanto, x³ - x² + x + 14 = (x + 2)(x²-3x+7)
-Encontrar as raízes de x²-3x+7:
Δ = (-3)² - 4.1.7 =9-36=-25 < 0
Logo, x²-3x+7 não possui raízes inteiras.
Portanto o polinômio x³ - x² + x + 14 só possui uma raiz inteira: -2
c) x4 - 3x³ +x² + 3x = 2
Solução:
Sabendo que : x4 - 3x³ +x² + 3x = 2 ⇔ x4 - 3x³ +x² + 3x -2 = 0
Assim :
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2.
- Testando:
P(1) = 14 - 3.1³ +1² + 3.1 -2 = 1 - 3 +1 +3 -2 = 0 , portanto 1 é raiz da equação.
P(-1) = (-1)4 - 3.(-1)³ +(-1)² + 3.(-1) -2 = 1+3+1-3-2 = 0, portanto -1 é raiz da equação.
Descoberta duas raizes, podemos fatorar o polinômio para encontrar as demais raízes . Para isso divida o polinômio por (x-1), e depois divida o quociente por (x+1):
![]() | ![]() |
Logo, x4 - 3x³ +x² + 3x -2 = (x - 1)(x + 1)(x² - 3x+2) -Encontrar as raízes de x² - 3x +2:
Δ = (-3)² - 4.1.2 Δ = 9 - 8 Δ = 1 | ![]() ![]() |
Logo, x4 - 3x³ +x² + 3x -2 = (x - 1)²(x + 1)(x - 2)
Observe que o polinômio x4 - 3x³ +x² + 3x -2 possui raiz dupla 1.
Conclui-se que o polinomio x4 - 3x³ +x² + 3x -2 possui todas as raízes inteiras : 1,-1,2.
d) 2x³ - x² - 1 = 0
Solução:
- Raízes possíveis: 1,-1.
- Testando:
P(1) = 2.1³ - 1² - 1 = 2 - 1 -1 = 0 , portanto 1 é raiz da equação.
P(-1) = 2(-1)³ - (-1)² - 1 =-2 -1 -1= -4
Portanto 1 é raiz do polinômio 2x³ - x² - 1 .
e) x³ + x² + x - 14 = 0
Solução:
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2,7,-7,14,-14.
- Testando:
P(1) = 1³ + 1² + 1 - 14=1 + 1 + 1 - 14 = -11
P(-1) = (-1)³ + (-1)² + (-1) - 14 = -1 + 1 -1 -14 = -15
P(2) = 2³ + 2² + 2 - 14 = 8 + 4 + 2 - 14= 0 , portanto 2 é raíz da equação.
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para isso divida o polinômio por (x-2):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiQbMdANFwtKtV06DhvfVU5T6Z8-chfWtfkTjL_Cl3MK-Nk2Le7SF7wjHTI5pOsyPg0cNbpcTGvAoN6ogGOf9jBitx7FRGJ42yFLCW7aommo8VWITDGlBc5LQnWWKyl1mImJsd907051PxC/s1600/divisao.jpg)
Portanto, x³ + x² + x - 14 = (x - 2)(x²+3x+7)
-Encontrar as raízes de x²+3x+7:
Δ = 3² - 4.1.7 =9-36=-25 < 0
Logo, x²+3x+7 não possui raízes inteiras.
Portanto o polinômio x³ + x² + x - 14 só possui uma raiz inteira: 2.
f) x³ + 3x² - 4x -12 = 0
Solução:
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,6,-6,12,-12.
- Testando:
P(1) = 1³ + 3.1² - 4.1 -12 = 1 + 3 -4 - 12 = -12
P(-1) = (-1)³ + 3(-1)² - 4(-1) -12 = -1 + 3 + 4 -12= -6
P(2) = 2³ + 3.2² - 4.2 -12 = 8 + 12 - 8 -12= 0 , portanto 2 é raíz da equação.
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para isso divida o polinômio por (x-2):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEineuZPpOIYbHbcz_tXc7yHrXc7MVoEoi4DBsO-UwPAs04UrDGvS8rlQsPbfy2rms2cAWrS8Xw6ojU3meu2G9-PLYjtzxC9BC0Vr7RAm_6QGr9WLlwFKezZhCHWn876obnMSDInWJRQ-qxu/s1600/divisao.jpg)
Portanto, x³ + 3x² - 4x -12 = (x - 2)(x²+5x+6)
-Encontrar as raízes de x²+5x+6:
Δ = 5² - 4.1.6 Δ = 25-24 Δ = 1 | ![]() ![]() |
Logo, x³ + 3x² - 4x -12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)
Conclui-se que o polinomio x4 - 3x³ +x² + 3x -2 possui todas as raízes inteiras : 2,-2,-3.
18. Seja P(x) um polinômio de grau n. Prove: α é raiz de P(x) ⇔ P(x) é divisível por x - α
Solução:
Dividindo P(x) por x - α , obtemos :
P(x) = (x - α) Q(x) + R(x)
Fazendo x = α , temos :
P(α) = (α - α) Q(α) + R(α)
P(α) = 0. Q(α) + R(α)
P(α) = R(α)
Sendo α raiz do polinômios, conclui-se que : P(α)=0 Se P(α) = R(α) , logo R(α) = 0, portanto P(x) é divisível por x - α.
19. Fatore o polinômio dado.
a) x³ + 2x² - x - 2
Solução:
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2.
- Testando:
P(1) = 1³ + 2.1² - 1 - 2 = 1+ 2 - 1 -2= 0 , portanto 1 é raiz da equação.
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais dividindo o polinômio por (x-1):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwUc7xAskemcxVDoL_A8wMEZnMcW_883m25BplHoKbhoBeRhKMuwNe2LoBBVy-Ioc2ldJhmJ0Lwu7LJg-503FSDnc8RYRFfs0Ga3o1EXQB2RMwpnrTBk-vtirwu9ajdBpWAW7SDp__2gJ1/s1600/divisao.jpg)
Portanto, x³ + 2x² - x - 2 = (x - 1)(x²+3x+2)
Fatorandox²+3x+2 :
-Encontrar as raízes de x²+3x+2:
Δ = 3² - 4.1.2 Δ = 9-8 Δ = 1 | ![]() ![]() |
Logo, x³ + 2x² - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2)
b) x4 - 3x³ + x² + 3x - 2
Solução:
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2.
- Testando:
P(1) = 1 4 - 3.1³ + 1² + 3.1 - 2 = 1 -3 +1 +3 -2 = 0 , portanto 1 é raiz da equação.
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais dividindo o polinômio por (x-1):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjza6eExTNr7w18B9iYfuQ8ur2tPIjjw4oqRHRtXWEnHQkFN3LfOTjvMkfZf7GXAsAir7zyhpjhhoo0e92MrjHl89zcM_Mohyphenhyphentrn7HN9vwueooXVSLVmKxw7_zX_vA8bpX5_Jc7Hgu4ire4/s1600/divisao.jpg)
Portanto, x4 - 3x³ + x² + 3x - 2= (x - 1)(x³-2x²-x+2)
Vimos no item a) que : x³ + 2x² - x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x + 2)
Logo, x4 - 3x³ + x² + 3x - 2= (x - 1)²(x + 1)(x + 2)
c) x³ + 2x² - 3x
Solução:
Fatorando por evidência, temos: x³ + 2x² - 3x = x ( x² + 2x -3)
Fatorando x² + 2x -3 :
-Encontrar as raízes de x² + 2x -3:
Δ = 2² - 4.1.(-3) Δ = 4 + 12 Δ = 16 | ![]() ![]() |
d) x³ + 3x² - 4x - 12
Solução:
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2.3,-3,4,-4,6,-6,12,-12.
- Testando:
P(1) = 1³ + 3.1² - 4.1 -12 = 1 + 3 -4 - 12 = -12
P(-1) = (-1)³ + 3(-1)² - 4(-1) -12 = -1 + 3 + 4 -12= -6
P(2) = 2³ + 3.2² - 4.2 -12 = 8 + 12 - 8 -12= 0 , portanto 2 é raíz da equação.
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para isso divida o polinômio por (x-2):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7bxT6NKlGFmsb3bRKuMO764JwD9ZA-fQUxXjJ3ICqavycz-zXdtmhVnLSXLPbY22ug5d-WNOnGxbT_JIJrOEl-q89aDlNgHAzKCbLi0MIfBrIGGKT6zUfFxLkZh-Cq6hIoIZFJlCG_Ciy/s1600/divisao.jpg)
Portanto, x³ + 3x² - 4x - 12= (x - 2)(x²+5x+6)
Fatorando x²+5x+6 :
-Encontrar as raízes de x²+5x+6:
Δ = 5² - 4.1.6 Δ = 25-24 Δ = 1 | ![]() ![]() |
Logo, x³ + 3x² - 4x - 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)
e) x³ + 6x² + 11x + 6
Solução:
- Raízes possíveis: 1,-1,2,-2.3,-3,6,-6.
- Testando:
P(1) = 1³ + 6.1² + 11.1 + 6 = 1 + 6 + 11 + 6 = 24
P(-1) = (-1)³ + 6(-1)² + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6= 0 , portanto -1 é raiz da equação.
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais fatorando o polinômio. Para isso divida o polinômio por (x+1):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgIcNk4rtwpnBKZZbDZXTVnSYz2a1FJ6A7d6JwJvJO63WiaufeQsgDxBMQsYiu39Wt8oR6IqlFuMNnLCnNeorfB4KX0vsbjhX9mAf5hObu8vTcaVfs3A7MM7_BdWY6vy7Xbky_AJfmwK5al/s1600/divisao.jpg)
Portanto, x³ + 6x² + 11x + 6 = (x + 1)(x²+5x+6)
Fatorando x²+5x+6 :
-Encontrar as raízes de x²+5x+6:
Δ = 5² - 4.1.6 Δ = 25-24 Δ = 1 | ![]() ![]() |
Logo, x³ + 6x² + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)
f) x³ - 1
Solução:
- Raízes possíveis: 1,-1.
- Testando:
P(1) = 1³ - 1 = 0 , portanto 1 é raiz da equação.
Descoberta uma raíz, iremos descobrir as demais dividindo o polinômio por (x-1):
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjombhnklLW0jLc0TeWtu0649AeFPMtcA8VGc-zTzX_DpCw1YQiNHNUbLq0gaIQPTXA6mHec3A_Ct2OG6JUu3GtfDqCRAMafOj-knPdwfVkGtCDfvvSgWHPC-LwhAHcBsxl2C_KbCRfJEO9/s1600/divisao.jpg)
Portanto, x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
-Encontrar as raízes de x² + x + 1:
Δ = 1² - 4.1.1 Δ = 1-4 Δ = - 3 < 0
Observe que x² + x + 1 não possui raízes reais, pois Δ< 0, logo x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1).
20. Resolva a inequação.
a) x³ - 1 > 0
Solução:
Fatorando x³ - 1 , temos:
x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) - Veja no item (f) do Exercício 19.
Estudando o sinal de (x - 1)(x² + x + 1):
1.Estudo do sinal de x - 1:
- Encontrando a raiz de x - 1:
x - 1= 0
x = 1
A raiz de x - 1 é 1.
2. Estudo do sinal de x² + x + 1:
Temos que: Δ = 1² - 4.1.1 = 1-4=-3 < 0
Observe que Δ < 0 e a > 0, portanto x² + 2x + 2 > 0 para todo x.
Assim o estudo do sinal é determinado por x - 1 , pois x² + x + 1 não influencia no estudo do sinal
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigqWB5qA8LmQiFbd3IxcQvkWKaJK4Nkzr1B9aURc3gt_sAT48iIXXZM_ONNFEFmx5Q-f0NNhIXm06dxyuSBczgXOi0J98WkHpVRBQR1flyrfoTvt16L15WYbfRp0QqqyrMKwWPpI6_BcHn/s1600/grafico.jpg)
Logo, x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) > 0, para x > 1.
b) x³ + 6x² + 11x + 6 < 0
Solução:
Fatorando x³ + 6x² + 11x + 6 , temos:
x³ + 6x² + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3) - Veja no item (e) do Exercício 19.
Estudando o sinal de (x + 1)(x + 2)(x + 3):
1.Estudo do sinal de x - 1:
- Encontrando a raiz de x - 1:
x + 1= 0
x = -1
A raiz de x + 1 é -1.
2. Estudo do sinal de x + 2:
- Encontrando a raiz de x + 2:
x + 2= 0
x = -2
A raiz de x + 2 é -2.
3. Estudo do sinal de x + 3:
- Encontrando a raiz de x + 3:
x + 3= 0
x = -3
A raiz de x + 3 é -3.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEy21xFuEKColcHf7YyfpXKOGkHnayVtIRIeslg4m8OV9AM7zLxGBLjt2cMcWCqnSpA4LpqhNnwz5obq_oQJEldp0R4HzbgKsJc9c0agI2jKa3PAtPco0T5VUe5Tzp0C7Q8G4vv-RJduUu/s1600/grafico.jpg)
Logo, x³ + 6x² + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3) < 0, para x < -3 ou -2 < x < -1.
c) x³ + 3x² - 4x - 12 ≥ 0
Solução:
Fatorando x³ + 3x² - 4x - 12 , temos: x³ + 3x² - 4x - 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3) - Veja no item (d) do Exercício 19.
Estudando o sinal de (x - 2)(x + 2)(x + 3):
1.Estudo do sinal de x - 2:
- Encontrando a raiz de x - 2:
x - 2= 0
x = 2
A raiz de x - 2 é 2.
2. Estudo do sinal de x + 2:
- Encontrando a raiz de x + 2:
x + 2= 0
x = -2
A raiz de x + 2 é -2.
3. Estudo do sinal de x + 3:
- Encontrando a raiz de x + 3:
x + 3= 0
x = -3
A raiz de x + 3 é -3.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2PD1f_RbJnra4mObg93AfEQYHCn2-BTEBCoXAmjG3Ri8TlXFJTZXjttH5kaTMOo3k_SPFT2Ud7TZrfBCmRrhQyLM6mqe1C3CK7TBvDzvpxR7NWf2KCJUlxbaonHz0hDVvIQuA7aPWvian/s1600/grafico.jpg)
Logo, x³ + 3x² - 4x - 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3) ≥ 0, para -3 ≤ x ≤ -2 ou x ≥ 2 .
d) x³ + 2x² - 3x < 0
Solução:
Fatorando x³ + 2x² - 3x , temos: x³ + 2x² - 3x = x (x - 1)(x + 3) - Veja no item (c) do Exercício 19.
Estudando o sinal de x (x - 1)(x + 3):
1.Estudo do sinal de x - 1:
- Encontrando a raiz de x - 1:
x - 1= 0
x = 1
A raiz de x - 1 é 1.
2. Estudo do sinal de x + 3:
- Encontrando a raiz de x + 3:
x + 3= 0
x = -3
A raiz de x + 3 é -3.
Graficamente:
![](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8h-p37kq4L1oNTcpSXcxLiDQMIBnH4WVvyazyKTgDZEOhgfcAVBK9yj6Zq0B0vIVAEEB2Y9O43Q_PKwtkzoc-5t58F88okcZu4c9F77LkE1BzSqdMInUg9htZJWa0LCGJY_4EYzNUL9g5/s1600/grafico.jpg)
Logo, x³ + 2x² - 3x = x (x - 1)(x + 3) < 0, para x < -3 ou 0 < x < 1.
21. A afirmação : " quaisquer que sejam os reais x e y, x < y ⇔ x² < y² " é falsa ou verdadeira ? Justifique.
Solução:
É falsa. A afirmação somente é válida para x > 0 e y > 0 .
Observe que se x for negativo, porém maior em módulo do que y, teremos uma contradição :
Fazendo x = -2 e y = 3 , temos x² = 4 e y = 9 , logo x < y, porém x² > y².
22. Prove que quaisquer que sejam os reais x e y, x < y ⇔ x³ < y³.
Solução:
Sabemos que y > x , portanto faremos y = x + n , com n ∈N.
Assim ,
x³ < y³
x³ < (x + n)³
x³ < x³ + 3hx² + 3h²x + h³
Fazendo k = 3hx² + 3h²x + h³, temos:
x ³ < x³ + k
Portanto, x³ < y³
23. Neste exercício você deverá admitur como conhecidas apenas as propriedades (A1) a (A4), (M1) a (M4), (D), (O1) a (04), (OA) e (OM) . Supondo x e y quaisquer, prove:
a) x . 0 = 0
Solução:
Sabendo que :
x = x ⇔ x - x = 0
Fatorando , temos:
( 1 - 1)x =0
Por A4, obtemos:
0.x =0
b) (Regra dos sinais) (-x)y = -xy; x(-y)= -xy; (-x)(-y) = xy
Solução:
- Fatorando (-x)y , temos:
(-x)y = [( 1 - 2)x]y
Por D, obtemos:
[( 1 - 2)x]y = xy - 2xy = -xy
- Fatorando x(-y) , temos:
x(-y) = x[( 1 - 2)y]
Por D, obtemos:
x[( 1 - 2)y] = xy - 2xy = -xy
- Fatorando (-x)(-y) , temos:
(-x)(-y) = [( 1 - 2)x][( 1 - 2)y]
Por D, obtemos:
[( 1 - 2)x][( 1 - 2)y] = (x - 2x)(y - 2y) = xy - 2xy -2xy +4xy = xy - 4xy +4xy = xy
c) x² ≥ 0.
Solução: .
- Se x > 0
x² = x . x
Fatorando x.x, temos:
x.x = [(2-1)x][(2-1)x]
Por D, obtemos :
[(2-1)x][(2-1)x] = (2x - x)(2x - x) = 4x²-2x²-2x²+x² = 4x² - 4x² +x² = x²
- Se x < 0
(-x)² = (-x) .(-x)
Fatorando (-x) .(-x), temos:
(-x) .(-x) = [(1-2)x][(1-2)x]
Por D, obtemos :
[(1-2)x][(1-2)x] = (x - 2x)(x - 2x) = x² - 2x² -2x² +4x² = x² -4x² + 4² = x²
Logo x² > 0 , para todo x.
d) 1 > 0
Solução:
Seja 1 um número positivo. Se retirarmos um número maior de 1 , teriamos um número negativo. Vejamos :
1 - 0 = 1 > 0
Portanto 1 > 0.
e) x > 0 ⇔ x -1 > 0
Solução:
Se x -1< 0 , temos , por M4:
-(x -1)x = 1 > 0
Observe, que a multiplicação resultou em um número positivo. Veja em b, que a única situação em que isso é possivel é quando (-x)(-y) = xy > 0 , logo para x -1 > 0 , x > 0. Logo, o recíproco é verdadeiro.
f) (Anulamento do produto) xy = 0 ⇔ x=0 ou y=0
Solução:
Há três hipóteses :
-x ≠ 0 e y ≠ 0 :
Temos : xy = 0
Multiplicando x e y por seus respectivos inversos,logo:
(x -1.x)(y -1.y) = 0
Por M4, temos:
(x -1.x)(y -1.y) = 1
(Absurdo)
- x ≠ 0 e y = 0 :
Temos: xy = 0
Multiplicando x por seu respectivo inverso, temos:
(x -1.x).y = 0
Por M4, temos:
(x -1.x).y = 1.y = y.
Sendo y = 0, logo xy = 0
-x = 0 e y ≠ 0 :
Temos: xy = 0
Multiplicando y por seu respectivo inverso, temos:
x.(y -1.y) = 0
Por M4, temos:
x.(y -1.y) = x.1 = x.
Sendo x = 0, logo xy = 0
g) x² = y² ⇔ x = y ou x = -y
Solução:
Temos que :
x² = y² ⇔ x² - y² = 0
Fatorando :
x² - y² = 0
x² = y²
x = ± √y²
x = ± y
Logo, x² - y² = (x - y)(x+y) = 0
Fazendo m = x - y e n = x+y , temos : m.n = 0
Em (f), vimos que m.n = 0 ⇔ m=0 ou n=0.
Para m = 0 :
x - y = 0
x = y
Para n = 0:
x + y = 0
x = -y
Assim , se x² = y² ⇔ x = y ou x = -y
h) Se x ≥ 0 e y ≥ 0, x² = y² ⇔ x = y
Solução:
Idem a (g) , mas considerando que x ≥ 0 e y ≥ 0 , logo a expressão x = -y não é válida. Assim x² = y² se x = y.
______________________________________
* Ao multiplicarmos ambos os lados por um número negativo o sinal de desigualdade se invertee. Veja: - 3x < 5
-3x (-1) < 5 (-1)
3x > -5
1° Mandamento da Matemática: Não dividirás por zero!
muito bom mesmo mas, estou precisando do capítulo 7 resolvido Derivadas,se tiver por favor envie para paulola00@hotmail.com.
ResponderExcluirmuito bom!
ResponderExcluirEstou precisando do capítulo 07 resolvido,
se tiver se tiver me envie para naldileide_@hotmail.com
estou precisando muito do exercicio 4.1 resolvido , se tiver e puder enviar , agradeceria muito , meu email giuliovictorp@gmail.com
ResponderExcluirEstou precisando urgentemente do capitulo 7 resolvido, se puder me fornecer agradeço, me envie para ppatricia22@hotmail.com
ResponderExcluirmuito bom estou precisando de todos do capitulo de integral se tiver me manda
ResponderExcluirmarcelorx_@hotmail.com
Este comentário foi removido pelo autor.
ResponderExcluirmuito bom estou prescisando do capitulo 3 limite se der manda para mim girlaysonsilva@hotmail.com
ResponderExcluirtb necessito da resolução do capítulo 3 ... ficaria muito grato alls_machado@live.com
ResponderExcluirMuito Bom, poderias me enviar pedropatricio97@gmail.com
ResponderExcluiresse arquivo. ong
Necessito do capitulo 2 por gentileza se você tiver, enviar para d.souza.9@outlook.com
ResponderExcluirEste comentário foi removido pelo autor.
ResponderExcluirboa tarde
ResponderExcluirgostaria de saber se ha mais resoluções eu preciso do capitulo 3
se houver!
szaico@live.com
volume 1 Capitulo 2 e 3, se tiver envia no meu email. perebaj@gmail.com
ResponderExcluirbom dia,si o senhor tive as resoluções dos cap 2,3 e pode mim envia ficarei grata,gabrieleuai@hotail.com
ResponderExcluirEste comentário foi removido pelo autor.
ResponderExcluirBoa Noite!
ResponderExcluirse puder me ajudar enviando os capítulos que tiver
ficarei muito agradecido, desde já parabéns pelo
excelente trabalho.
dougccb1@gmail.com
Formalmente, agradeço pelo compartilhamento das resoluções, contribuíram para os meus estudos.
ResponderExcluirBorgata Hotel Casino & Spa - MapYRO
ResponderExcluirThe Borgata 제천 출장샵 Hotel Casino & Spa in Atlantic City features a 양주 출장마사지 casino, live nightly entertainment, and an indoor pool. There are 24 restaurants, 과천 출장안마 a 바카라 사이트 벳 무브 full-service Rating: 오산 출장안마 7.2/10 · 934 reviews
Oi tudo bem? Tem mais exercício disponível, pois ajuda muito os estudantes a resolver outras questões parecida.
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