Resolução do Livro "Um curso de cálculo" : Módulo de um número real

Exercícios 1.3

1. Elimine o módulo:
Dica:
-Definição de módulo:


- Propriedades úteis:

i)  |x| ≥ 0
ii)  |x|² = x²

- Estudo do sinal de expressões na forma ax² - c:
a) Encontrar as raízes x1 e x2 da equação:

ax² - c = 0
ax² = c
x² = c/a
x = ± √c/a

Portanto a equação terá duas raízes inteiras de mesmo módulo e sinais diferentes. Assim, x1= √c/a e x2= - √c/a.

b) Graficamente:

     Se a > 0 :

( Supondo x1 < x2 )

    Se a < 0:

( Supondo x1 < x2 )


- Estudo do de expressões na forma ax + b:




a) |-5| + |-2|
Solução:
Pela definição de módulo, temos:
|-5| = -(-5) = 5 , sendo -5 <0
|-2| = -(-2) = 2, sendo -2 < 0
Assim,
|-5| + |-2| = 5 + 2 = 7

b) |-5 + 8|
Solução:
Temos que :
|-5+8|=|3|
Pela definição de módulo:
|3| = 3 , pois 3 > 0

c) |-a|, a  > 0
Solução:
Se a > 0, logo –a < 0, portanto pela definição de módulos, temos:
|-a| = - (-a) = a , pois -a < 0

c) |a|, a < 0
Solução: 
Pela definição de módulo, temos:
|a| = -a , pois a < 0

d) |-a|
Solução: 
Pela definição de módulo, temos:



e) |2a| - |3a|
Solução:
Pela definição de módulo, temos:


e

Assim,

-Se a ≥ 0:
|2a| - |3a| = 2a - 3a = -a

-Se a < 0:
|2a| - |3a| = -2a - (-3a) = -2a + 3a = a

Portanto,

2. Resolva as equações.

a) |x|= 2 
Solução:
Pela definição de módulo, temos:



b) |x+1|=3
Solução:
Pela definição de módulo, temos:



c) |2x-1|=1
Solução:
Pela definição de módulo, temos:


d) |x-2|=-1
Solução:
Não adimite solução pois  |z| ≥ 0, para qualquer z, portanto |x-2| = -1 < 0 não é válido.

e) |2x+3|=0
Solução:
Pela definição de módulo, temos:


f) |x|=2x+1
Solução:
Pela definição de módulo, temos:


Substituindo:

|x|= 2.(-1) + 1 = -2 + 1 = -2 < 0
|x|= 2. + 1 =  + 1 =  =  > 0

Observe que se x = -1, o módulo resulta em um número negativo, portanto não é válido. Assim |x| = 2x+1 , somente para .

3. Resolva as inequações.
Dica :
- Definição de módulo:



- Propriedades úteis:

i) |x| ≥ 0
ii) |x|² = x²

a) |x|≤ 1
Solução:
|x|² ≤ 1²
x² ≤ 1
x² - 1 ≤ 0

Estudando o sinal de x² - 1:
- Determinar as raízes da equação:
x² - 1 = 0
x² = 1
x = ± √1
x = ± 1

As raízes são : 1 e -1

-Graficamente:

Portanto |x| ≤ 1  ⇔ x² - 1 ≤ 0 , para -1 ≤ x ≤ 1

b) |2x-1|< 3
Solução:
|2x-1|² ≤ 3²
(2x-1)² ≤ 9
4x² -4x +1 ≤ 9
4x² -4x +1-9 ≤ 0
4x² -4x -8 ≤ 0

Estudando o sinal de 4x² -4x -8:
- Determinar as raízes da equação:
4x² -4x -8 = 0
Dividindo todos os membros por 4, temos:

4x² -4x -8 = 0 ⇔ x² - x – 2 =0

Usando a Fórmula de Bkaskara, temos: 

Δ = (-1)²-4.1.(-2) Δ = 1+8 Δ = 9

Logo, as raízes da equação são : 2 e -1.

-Graficamente:



Portanto, |2x-1|< 3 ⇔ x² - x – 2 < 0 , para -1 < x < 2.

c) |3x-1| < -2
Solução:
Por (i) temos que |3x - 1| ≥ 0 para todo x, logo |3x-1| < -2 não está definido.

d) |3x-1|<
Solução:
|3x-1|² <
(3x-1)² <
9x² -6x +1 <
9x² -6x +1 - < 0
9x² -6x + < 0
9x² -6x + < 0
Estudando o sinal de 9x² -6x + :
- Determinar as raízes da equação:
9x² -6x + = 0
Usando a Fórmula de Bkaskara, temos:

Δ = (-6)²-4.9. Δ = 36 - 32 Δ = 4

Logo, as raízes da equação são : e .
-Graficamente:


Portanto|3x-1|< ⇔ 9x² -6x + < 0 , para < x < .

e) |2x²- 1| < 1
Solução:
|2x²- 1|² < 1²
(2x²- 1)² < 1
4x⁴ -4x² + 1 < 1
4x⁴ -4x² + 1-1 < 0
4x⁴ -4x² < 0

Estudando o sinal de 4x⁴ -4x²:
- Iremos fatorar a equação para encontrar as raízes:
4x⁴ -4x² = 4x² .(x² - 1) - (fatoração por evidência) - Veja em Fatoração de Polinômios.

Estudo do sinal de 4x²:
- Determinar as raízes da equação:
4x² = 0
x² = 0
x = 0

Logo, as raízes de 4x² são 0.

-Graficamente:


Estudo do sinal de x² - 1:
- Determinar as raízes da equação:
x² - 1 = 0
x² = 1
x = ± √1
x = ± 1

Logo, as raízes de x² - 1 são : 1 e -1.

-Graficamente:

Portanto, 4x⁴ -4x² = 4x² .(x - 1)(x+1) e suas raízes são 0, 1 e -1.

Graficamente:


Portanto, |2x²- 1| < 1 ⇔ 4x⁴ -4x² < 0 ⇔ 4x² .(x² - 1) < 0 , para -1 < x < 1, x ≠ 0 , pois 4x² .(x² - 1) = 0 , se x = 0.

f) |x-3| < 4
Solução:
|x-3|² < 4²
(x-3)² < 16
x² -6x +9 < 16
x² -6x +9 -16 <0
x² -6x -7 <0

Estudando o sinal de x² -6x -7:
- Determinar as raízes da equação:
x² -6x -7 = 0

Usando a Fórmula de Bkaskara, temos: 

Δ = (-6)²-4.1.(-7) Δ = 36+28 Δ = 64

Logo, as raízes da equação são : 7 e -1.

-Graficamente:

Portanto, |x-3| < 4 ⇔ x² -6x -7 <0 , para -1 < x < 7.

g) |x| > 3
Solução:
|x|² > 3²
x² >9
x² - 9 >0

Estudando o sinal de x² - 9:
- Determinar as raízes da equação:
x² - 9 = 0
x² = 9
x = ± √9
x = ± 3

Logo, as raízes da equação são : 3 e -3.

-Graficamente:


Portanto, |x| > 3 ⇔ x² - 9 >0 , para x < -3 ou x > 3.

h) |x + 3| > 1
Solução:
|x + 3|² > 1²
(x + 3)² > 1
x² +6x +9 > 1
x² +6x +9 -1>0
x² +6x +8>0

Estudando o sinal de x² +6x +8:
- Determinar as raízes da equação:
x² +6x +8 = 0

Usando a Fórmula de Bkaskara, temos: 

Δ = 6²-4.1.8 Δ = 36-32 Δ = 4

Logo, as raízes da equação são : -2 e -4.

-Graficamente:


Portanto, |x + 3| > 1 ⇔ x² +6x +8 >0 , para x < -4 ou x > -2.

i) |2x – 3| > 3
Solução:
|2x – 3|² > 3²
(2x – 3)² > 9
4x² -12x +9 > 9
4x² -12x +9 -9 >0
4x² -12x >0

Estudando o sinal de 4x² -12x:
- Iremos fatorar a equação para encontrar as raízes:
4x² -12x = 4x.(x-3) - (fatoração por evidência) - Veja em Fatoração de Polinômios.

Sabemos que : ax² + bx +c = a.(x - x₁)(x - x₂), logo 4x² -12x = 4.(x-0)(x-3), portanto suas raízes são 0 e 3.

-Graficamente:


Portanto, |2x – 3| > 3 ⇔ 4x² -12x >0 , para x < 0 ou x > 3.

j) |2x – 1| < x
Solução:
|2x – 1|² < x²
(2x – 1)² < x²
4x² -4x + 1 < x²
4x² -4x + 1 -x² <0
3x² -4x + 1 <0

Estudando o sinal de 3x² -4x + 1:
- Determinar as raízes da equação:
3x² -4x + 1 = 0

Usando a Fórmula de Bkaskara, temos: 

Δ = (-4)²-4.3.1 Δ = 16-12 Δ = 4

Logo, as raízes da equação são : 1 e .
-Graficamente:



Portanto,|2x – 1| < x ⇔ 3x² -4x + 1 <0 , para < x < 1.

l) |x + 1| <|2x – 1|
Solução:
|x + 1|² <|2x – 1|²
(x + 1)² <(2x – 1)²
x² + 2x + 1 < 4x² -4x + 1
x² -4x² + 2x + 4x + 1-1 < 0
-3x² +6x <0

Estudando o sinal de -3x² +6x:
- Iremos fatorar a equação para encontrar as raízes:
-3x² +6x = -3x.(x-2) - (fatoração por evidência) - Veja em Fatoração de Polinômios.

Sabemos que : ax² + bx +c = a.(x - x₁)(x - x₂), logo -3x² +6x = -3.(x-0)(x-2), portanto suas raízes são 0 e 2.

-Graficamente (a < 0):


Portanto,|x + 1| <|2x – 1| ⇔ -3x² +6x <0 , x < 0 ou x > 2.

m) |x – 1| - |x + 2| > x
Solução:
Pela definição de módulo, temos:


e


Graficamente:


- Se x < -2
|x-1| = -x+1
|x+2| = -x-2

Assim:
|x-1|-|x+2| > x
-x+1- (-x-2) > x
-x +1 +x + 2 > x
3 > x ou x < 3

-Intersecção de x < -2 e x < 3 ,sendo A = x < -2 e B= x< 3

Portanto a desigualdade é válida para todo x < -2.

- Se -2 ≤ x < 1
|x-1| = -x+1
|x+2| = x+2

Assim:
|x-1|-|x+2| > x
-x+1- (x+2) > x
-x +1 -x - 2 > x
-2x-1 > x
-2x-x >1
-3x >1
3x < -1 *
x <
-Intersecção de-2 ≤ x ≤ 1 e x < ,sendo A = -2 ≤ x ≤ 1 e B= x <



Portanto a desigualdade é válida para todo -2 ≤ x < .
-Se x ≥ 1
|x-1| = x-1
|x+2| = x+2

Assim:
|x-1|-|x+2| > x
x-1- (x+2) > x
x -1 -x - 2 > x
-3 > x ou x > -3

-Intersecção de x ≥ 1 e x > -3,sendo A = x ≥ 1 e B= x > -3.

Portanto a desigualdade não é valida nesse intervalo pois não há intersecção.

Para saber para quais valores de x a inequação é válida, basta fazer a união dos intervalos em que a desigualdade é válida.
-União de A e B , sendo A = x < -2 e B= -2 ≤x <

Portanto, |x – 1| - |x + 2| > x , para x <
n) |x – 3| < x + 1
Solução:
|x – 3|² < (x+1)²
(x – 3)² < (x+1)²
x² -6x +9 < x² +2x +1
x² -6x - x² - 2x < 1 - 9
-8x < -8 *
8x > 8
x >
x > 1

Portanto,|x – 3| < x + 1 , para x >1.

o) |x – 2| + |x – 1| > 1
Solução:
Pela definição de módulo, temos:


e



Graficamente:

- Se x < 1
|x-2| = -x+2
|x-1| = -x+1

Assim:
|x – 2| + |x – 1| > 1
-x + 2 -x +1 > 1
-2x + 3 > 1
-2x > 1-3
-2x > -2
2x < 2 *
x <
x < 1

Portanto a desigualdade é válida para todo x < 1.

- Se 1≤ x < 2
|x-2| = -x+2
|x-1| = x-1

Assim:
|x – 2| + |x – 1| > 1
-x + 2 + x -1 > 1
1 > 1

Observe que chegamos em um absurdo (1 > 1), portanto a desigualdade não é válida nesse intervalo.

-Se x ≥ 1
|x-2| = x-2
|x-1| = x-1

Assim:
|x – 2| + |x – 1| > 1
x - 2 + x -1 > 1
2x - 3 > 1
2x > 1+3
2x > 4
x >
x > 2

Portanto a desigualdade é válida para todo x < 2.

Para saber para quais valores de x a inequação é válida, basta fazer a união dos intervalos em que a desigualdade é válida.

-União de A e B , sendo A = x < 1 e B= x > 2

Portanto, |x – 2| + |x – 1| > 1 , para x < 1 ou x > 2.

4. Suponha r > 0. Prove:

|x| > r  ⇔  x < -r ou x > r

Solução:
|x|² > r²
x² > r²
x² - r² > 0

Graficamente:

Portanto, x² - r² > 0 ⇔ |x| > r para x < -r e x > r.

5. Elimine o módulo.

a) | x + 1| + |x|
Solução:
Pela definição de módulo, temos:


e


Graficamente:

- Se x < -1
|x+1| = -x-1
|x| = -x

Assim:
| x + 1| + |x| = -x-1-x = -2x-1

- Se -1 ≤ x < 0
|x+1| = x + 1
|x| = -x

Assim:
| x + 1| + |x| = x+1-x = 1

- Se x ≥ 0
|x+1| = x + 1
|x| = x

Assim:
| x + 1| + |x| = x+1+x = 2x + 1


Portanto ,

b) |x – 2| - |x + 1|
Solução:
Pela definição de módulo, temos:


e



Graficamente:

- Se x < -1
|x-2| = -x+2
|x+1| = -x-1

Assim:
|x – 2| - |x + 1| = -x+2 -(-x-1) = -x + 2 + x + 1= 3

- Se -1 ≤ x < 2
|x-2| = -x+2
|x+1| = x+1

Assim:
|x – 2| - |x + 1| = -x+2 -(x+1) = -x + 2 - x - 1= -2x+1

- Se x ≥ 0
|x-2| = x-2
|x+1| = x+1

Assim:
|x – 2| - |x + 1| = x-2 -(x+1) = x - 2 - x - 1= -3

Portanto ,

c) |2x – 1| + |x -2| 
Solução:
Pela definição de módulo, temos:


e



Graficamente:


- Se x <
|2x-1| = -2x+1
|x-2| = -x+2

Assim:
|2x – 1| + |x -2| = -2x+1-x+2 = -3x + 3

- Se ≤ x < 2
|2x-1| = 2x-1
|x-2| = -x+2

Assim:
|2x – 1| + |x -2| = 2x-1-x+2 = x + 1

- Se x ≥ 2
|2x-1| = 2x-1
|x-2| = x-2

Assim:
|2x – 1| + |x -2| = 2x-1+ x-2 = 3x -3

Portanto ,

e) |x|+|x - 1|+|x - 2|
Solução:
Pela definição de módulo, temos:


e

e



Graficamente:


- Se x < 0
|x| = -x
|x-1| = -x+1
|x-2|= -x+2

Assim:

|x|+|x - 1|+|x - 2| = -x -x +1 -x + 2= -3x + 3

- Se 0 ≤x <1
|x| = x
|x-1| = -x+1
|x-2|= -x+2

Assim:
|x|+|x - 1|+|x - 2| = x -x +1 -x + 2= -x + 3

- Se 1 ≤x <2
|x| = x
|x-1| = x-1
|x-2|= -x+2

Assim:
|x|+|x - 1|+|x - 2| = x + x -1 -x + 2= x + 1

- Se x ≥ 2
|x| = x
|x-1| = x-1
|x-2|= x-2

Assim:
|x|+|x - 1|+|x - 2| = x + x -1 + x - 2 = 3x -3

Portanto ,

6. Prove: |x + y| = |x| + |y| ⇔ xy ≥ 0
Solução:
De acordo com a definição de módulo, temos:


e

e



Sabemos que xy ≥ 0 , portanto nos deparamos com 5 casos :

Caso 1:  Se x e y > 0 , temos xy > 0 e x + y > 0, assim:
|x + y | = x + y = | x | + | y |

Caso 2:  Se x e y < 0, temos xy > 0 e x + y < 0, assim: 
|x + y| = -(x + y) = -x-y = (-x) + (-y) = | x | + | y |

Caso 3:  Se x = 0 , temos xy = 0

i ) se y > 0, temos x + y > 0, assim:
|x+y| = x+y = | x |+| y |

ii) se y < 0, temos x + y < 0, assim:
|x + y| = -(x + y) = -x-y = (-x) + (-y) = | x | + | y |

Caso 4: Se y = 0 , temos xy = 0

i ) se x > 0, temos x + y > 0, assim:
|x+y| = x+y = | x |+| y |

ii) se x < 0, temos x + y < 0, assim:
|x + y| = -(x + y) = -x-y = (-x) + (-y) = | x | + | y |

Caso 5: Se x = 0 e y =0, temos xy = 0 e x + y = 0, assim:
|x + y| = x + y = | x |+| y |

Portanto, |x + y| = |x| + |y| ⇔ xy ≥ 0, para todo x e y.

7. Prove:
Dica :
-Propriedades úteis:
i) | x | ≥ 0
ii ) |x| ² = x²
iii) |xy| = |x||y|

a) | x – y| ≥ |x| - |y|
Solução :
Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, temos:

| x - y |² ≥ (|x| - |y|)²
( x - y )² ≥ (|x| - |y|)²
x² - 2xy + y² ≥ |x|² - 2|x||y| + |y|²
x² - 2xy + y² ≥ x² - 2|x||y| + y²
x² -x² - 2xy + y² -y² ≥ - 2|x||y|
- 2xy ≥ - 2|x||y|

Sendo |x||y| = |x.y| e |xy| ≥ 0,de acordo com as propriedades (iii) e (i), temos que -2|x||y| ≤ 0, para qualquer x e y, logo - 2xy ≥ - 2|x||y| .

b) |x – y| ≥ |y| - |x|
Solução:
Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, temos:

| x - y |² ≥ (|y| - |x|)²
( x - y )² ≥ (|y| - |x|)²
x² - 2xy + y² ≥ |y|² - 2|y||x| + |x|²
x² - 2xy + y² ≥ y² - 2|y||x| + x²
x² -x² - 2xy + y² -y² ≥ - 2|y||x|
- 2xy ≥ - 2|y||x|

Sendo |y||x| = |y.x| e |yx| ≥ 0,de acordo com as propriedades (iii) e (i), temos que -2y||x| ≤ 0, para qualquer x e y, logo - 2xy ≥ - 2|y||x|.

c) ||x|-|y|| ≤ |x - y|
Solução:
Elevando ambos os membros da desigualdade ao quadrado, temos:

||x|-|y||² ≤ |x - y|²
(|x|-|y|)² ≤ (x - y)²
|x|² - 2|x||y| + |y|² ≤ x² -2xy + y²
x² - 2|x||y| + y² ≤ x² -2xy + y²
x² -x² - 2|x||y|+ y² -y² ≤ -2xy
- 2|x||y| ≤ -2xy

Sendo |y||x| = |y.x| e |yx| ≥ 0,de acordo com as propriedades (iii) e (i), temos que -2|x||y| ≤ 0, para qualquer x e y, logo - 2|x||y| ≤ -2xy .


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Formula de Bhaskara : é a nome que se dá a fórmula usada na resolução de equações do segundo grau.

Δ = b² - 4ac

e

^* Ao multiplicarmos ambos os lados por um número negativo o sinal de desigualdade se invertee. Veja:
- 3x < 5
-3x (-1) < 5 (-1)
3x > -5